二分求幂法是快速计算形如 的求幂运算的方法。朴素计算 的方式是将 连乘 次,代码如下:

int result = 1;
for (int i = 0; i != b; i++)
    result *= a;

这需要计算 次,而实际真的需要运算这么多次吗?答案是不需要,利用二分求幂法,我们可以使运算次数大大小于 次。那么什么是二分求幂法呢?我们先考虑一个具体的计算:

首先,我们需要想到:。这说明当我们计算出 的值后,再去计算 的值并不需要再连乘 十六次,我们只需要自乘一次 即可,这便大大降低了运算步骤。

如果我们想到了 ,那么我们也可以很自然的进一步想到 ,这同样大大简化了计算 的步骤:当我们得到 的值时,只需再自乘一次 即可得到 的值,而无需连乘 8 次 。继续这样推演下去,我们可以得到以下的式子:

我们可以发现,通过二分求幂的方法,仅需 6 次运算即可得到结果,而在朴素求幂的方法中足足需要 32 次!

但我们发现一个问题:32 刚好是 2 的 5 次方,所以 32 可以一直被二分到 1 为止,如果失去这种特殊性,我们还可以使用二分求幂吗?答案也是可以的,以计算 为例:

当我们得到上面的拆分结果后,再计算 就轻松多了。当我们得到 的值时,自乘一次即可得到 ,再自乘一次即可得到 ,再自乘一次得到 ,再自乘一次得到 ,我们最后将这些中间结果乘到一起就计算出了 的值。利用二分求幂,计算出 仅需要 5 次运算,而朴素求幂足足需要 31 次!

现在我们已经充分认识到了二分求幂法的威力,但想要完全掌握这一方法,我们还需要攻克一个核心问题——如何正确的分解指数,使其可以满足二分求幂的运算过程(如上述对 的分解)。对于一般化的 ,我们可以这样考虑:

显然,这样分解出来的指数 满足二分求幂的运算过程。因为,在二分求幂过程中,从 开始不断自乘,我们可以得到:,所以,我们分解出来的 必须属于自乘得到的序列,即指数 ,而 又等于 ,看到这里,我们只需要再迈出最后一步——联想到二进制,就可以完全掌握二分求幂法了。

对于任何一个指数 ,我们可以将其转化为二进制形式,这个二进制串中所有值为 1 的位置所代表的值,就是二分求幂法所需要的分解结果。现在用这样的视角再次回顾之前的 ,指数 的二进制形式为 ,这个二进制串从低位到高位每一个 1 的值如下:

我们可以发现,这些值正好是分解后的结果,即 ,然后就可以轻松的利用二分求幂法快速计算出结果了。

再分析一个具体的例子:计算 的值。指数 的二进制形式是 ,所有值为 1 的位置代表的值分别是:

从而可以将 分解为 ,然后利用二分求幂,从 开始,自乘一次得到 ,再自乘一次得到 ,以此类推,直到得到 。这些中间结果中,对我们有用的是 ,我们把它们乘到一起,就计算出了 的值。从程序运行的角度来看,利用二分求幂,得到这个结果需要循环 8 次,而如果要在朴素求幂算法中得到这一结果,则需要运行 177 次!显然,要计算的幂指数越大,二分求幂的优势也就愈加明显。

最后简单地用程序语言表达如何计算

int fun(int a, int b) {
    int result = 1;
    while (b) {
        if (b % 2 == 1)
            result *= a;
        a *= a;
        b /= 2;
    }
    return result;
}

参考资料:

  1. 王道论坛编组.王道论坛计算机考研机试指南[M]. :, 2013. 101-105.