这可能是最全的最短路径算法总结

定义

• 路径
• 最短路
• 有向图中的最短路、无向图中的最短路
• 单源最短路、每对结点之间的最短路

性质

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 n，边数不会超过 n−1 。

Floyd 算法

是用来求任意两个结点之间的最短路的。

复杂度比较高，但是常数小，容易实现。（我会说只有三个 for 吗？）

适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在。（不能有个负环）

实现

我们定义一个数组 f[k][x][y] ，表示只允许经过结点 1 到 k ，结点 x 到结点 y 的最短路长度。

很显然， f[n][x][y] 就是结点 x 到结点 y 的最短路长度。

我们来考虑怎么求这个数组

f[0][x][y] ：边权，或者 0 ，或者 +∞ （ f[0][x][x] 什么时候应该是 +∞ ？）

f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])

上面两行都显然是对的，然而这个做法空间是 O(N3) 。

但我们发现数组的第一维是没有用的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y]) ，

for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);

时间复杂度是 O(N3) ，空间复杂度是 O(N2) 。

但我们发现数组的第一维是没有用的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y]) ，

for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);

应用

"给一个正权无向图，找一个最小权值和的环。"
首先这一定是一个简单环。

想一想这个环是怎么构成的。
考虑环上编号最大的结点 u。
f[u-1][x][y] 和 (u,x), (u,y）共同构成了环。
在 Floyd 的过程中枚举 u，计算这个和的最小值即可。
O(n3) 。

"已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通。"
该问题即是求 图的传递闭包 。

我们只需要按照 Floyd 的过程，逐个加入点判断一下。

只是此时的边的边权变为 1/0 ，而取 min 变成了 与 运算。

再进一步用 bitset 优化，复杂度可以到 O(n3w) 。

// std::bitset f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
for (i = 1; i <= n; i++)
if (f[i][k]) f[i] = f[i] & f[k];

Bellman-Ford 算法

一种基于松弛（relax）操作的最短路算法。

支持负权。

能找到某个结点出发到所有结点的最短路，或者报告某些最短路不存在。

在国内 OI 界，你可能听说过的“SPFA”，就是 Bellman-Ford 算法的一种实现。（优化）

实现

假设结点为 S 。

先定义 dist(u) 为 S 到 u （当前）的最短路径长度。

relax(u,v) 操作指： dist(v)=min(dist(v),dist(u)+edge_len(u,v)) .

relax 是从哪里来的呢？

三角形不等式： dist(v)≤dist(u)+edge_len(u,v) 。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用松弛操作来更新 dist(v) 的值。

Bellman-Ford 算法如下：

while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 O(m) 的，那么最多会循环多少次呢？

答案是 ∞ ！（如果有一个 S 能走到的负环就会这样）

但是此时某些结点的最短路不存在。

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 +1 ，而最短路的边数最多为 n−1 。

所以最多执行 n−1 次松弛操作，即最多循环 n−1 次。

总时间复杂度 O(NM) 。 （对于最短路存在的图）

relax(u, v) {
   
	dist[v] = min(dist[v], dist[u] + edge_len(u, v));
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
   
	dist[i] = edge_len(S, i);
}
for (i = 1; i < n; i++) {
   
	for each edge(u, v) {
   
		relax(u, v);
	}
}

注：这里的 edge_len(u,v) 表示边的权值，如果该边不存在则为 +∞ ， u=v 则为 0 。

应用

给一张有向图，问是否存在负权环。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被松弛成功了 n 次，那么就一定存在。

如果 n−1 次之内算法结束了，就一定不存在。

队列优化：SPFA

即 `Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”，就能只访问必要的边了。

q = new queue();
q.push(S);
in_queue[S] = true;
while (!q.empty()) {
   
	u = q.pop();
	in_queue[u] = false;
	for each edge(u, v) {
   
		if (relax(u, v) && !in_queue[v]) {
   
			q.push(v);
			in_queue[v] = true;
		}
	}
}

虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为 O(NM) ，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围）。

SPFA 的优化之 SLF

即 Small Label First。

即在新元素加入队列时，如果队首元素权值大于新元素权值，那么就把新元素加入队首，否则依然加入队尾。

该优化在确实在一些图上有显著效果，但是如果有负权边的话，可以直接卡到指数级。

Dijkstra 算法

Dijkstra 是个人名（荷兰姓氏）。

IPA:/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/。

这种算法只适用于非负权图，但是时间复杂度非常优秀。

也是用来求单源最短路径的算法。

实现

主要思想是，将结点分成两个集合：已确定最短路长度的，未确定的。

一开始第一个集合里只有 S 。

然后重复这些操作：

对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。
从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。
直到第二个集合为空，算法结束。

时间复杂度：只用分析集合操作， n 次 delete-min ， m 次 decrease-key 。

如果用暴力： O(n2+m)=O(n2) 。

如果用堆 O(mlogn) 。

如果用 priority_queue： O(mlogm) 。

（注：如果使用 priority_queue，无法删除某一个旧的结点，只能插入一个权值更小的编号相同结点，这样操作导致堆中元素是 O(m) 的）

如果用线段树（ZKW 线段树）： O(mlogn+n)=O(mlogn)

如果用 Fibonacci 堆： O(nlogn+m) （这就是为啥优秀了）。

等等，还没说正确性呢！

分两步证明：先证明任何时候第一个集合中的元素的 dist 一定不大于第二个集合中的。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值，每次松弛操作又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了，所以最短路显然确定了。

H = new heap();
H.insert(S, 0);
dist[S] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
   
	u = H.delete_min();
	for each edge(u, v) {
   
		if (relax(u, v)) {
   
			H.decrease_key(v, dist[v]);
		}
	}
}

Johnson 全源最短路径算法

Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。

任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 n 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 O(n2m) 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 O(n3) 。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 n 次 Dijkstra 算法，就可以在 O(nmlogm) （取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 n 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。

一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 x ，从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 k 条边，则将最短路减去 kx 即可得到实际最短路。

但这样的方法是错误的。考虑下图：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DLk5ktXU-1619008491302)(https://upload-images.jianshu.io/upload_images/26143782-a94d0152331aee5e.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)]

1→2 的最短路为 1→5→3→2 ，长度为 −2 。

但假如我们把每条边的边权加上 5 呢？

新图上 1→2 的最短路为 1→4→2 ，已经不是实际的最短路了。

Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。

我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 0 ）。从这个点向其他所有点连一条边权为 0 的边。

接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 0 号点到其他所有点的最短路，记为 hi 。

假如存在一条从 u 点到 v 点，边权为 w 的边，则我们将该边的边权重新设置为 w+hu−hv 。

接下来以每个点为起点，跑 n 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 priority_queue 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 O(nmlogm) 。

实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

//节点编号1 ~ |V|
const int MAXV = 100 + 1;
const int INF  = 1e5;

vector<vector<int>> dist(MAXV, vector<int>(MAXV, INF)); // 距离矩阵，第一维是起始点,0编号存放S'到各个点的距离
vector<vector<int>> parent(MAXV, vector<int>(MAXV, 0)); //前驱子图，第一维是起始点

struct E {
   
    int v;
    int w;
    E(int v, int w) : v(v), w(w) {
   }
    E() {
   }
};
typedef pair<int, int> P; //first存d,second存下标

struct Graph {
   
    vector<E> adj[MAXV];
    int n;
    int m;
};
Graph graph;

bool bellman_ford(int s) {
   
    dist[s][s] = 0;
    int n      = graph.n + 1;
    for (int k = 1; k <= n - 1; ++k) {
   
        for (int u = 0; u <= graph.n; ++u) {
    //u从0开始，0代表新添加的点
            for (int j = 0; j < graph.adj[u].size(); ++j) {
   
                E e   = graph.adj[u][j];
                int v = e.v;
                if (dist[s][v] > dist[s][u] + e.w) {
   
                    dist[s][v] = dist[s][u] + e.w;
                }                        //end if
            }                            //end for
        }                                //end for
    }                                    //end for
                                         //检查有没有从s可达的负圈
    for (int u = 0; u <= graph.n; ++u) {
    // u从0开始
        for (int j = 0; j < graph.adj[u].size(); ++j) {
   
            E e = graph.adj[u][j]; //边
            if (dist[s][e.v] > dist[s][u] + e.w) {
   
                return false;
            } //endif
        }     //end for
    }         //end for
    return true;
}

struct cmp {
   
    bool operator()(P &p1, P &p2) {
   
        return p1.first > p2.first;
    }
};

//O(nlogn + mlogn), m>n时，O(mlogn); 斐波那契堆 O(nlogn + m)
void dijkstra(int s) {
   
    dist[s][s] = 0;
    priority_queue<P, vector<P>, cmp> pq;
    pq.push(P(0, s));
    while (!pq.empty()) {
   
        P v_m = pq.top();
        pq.pop(); //共执行n次,logn
        int u = v_m.second;
        if (dist[s][u] < v_m.first) continue;           //d[u]小于上界,说明之前更新过了，重复放入的元素
        for (int i = 0; i < graph.adj[u].size(); ++i) {
    //共执行m次
            E e = graph.adj[u][i];
            if (dist[s][e.v] > dist[s][u] + e.w) {
   
                dist[s][e.v]   = dist[s][u] + e.w;
                parent[s][e.v] = u;
                pq.push(P(dist[s][e.v], e.v)); //logn
            }
        }
    }
}

//O(mnlogn+n*nlogn),m>n时，O(mnlogn); 对于斐波那契堆为O(mn + n*nlogn)
void johnson() {
   
    //create G' add S' s' = 0
    for (int i = 1; i <= graph.n; ++i) {
   
        graph.adj[0].push_back(E(i, 0)); //w = 0
    }
    if (!bellman_ford(0)) {
   
        cout << "the input graph contains a negative-weight cycle" << endl;
        return;
    }
    //d(u)= shortest path from S to u,w'(u,v)=w(u,v)+dist(u)-dist(v) >= 0
    for (int u = 1; u <= graph.n; ++u) {
   
        for (int v = 0; v < graph.adj[u].size(); ++v) {
   
            graph.adj[u][v].w = graph.adj[u][v].w + dist[0][u] - dist[0][v]; //update w'
        }
    }
    for (int u = 1; u <= graph.n; ++u) {
   
        dijkstra(u);
        for (int v = 1; v <= graph.n; ++v) {
                      //更新所有从u出发到所有顶点的距离
            dist[u][v] = dist[u][v] - dist[0][u] + dist[0][v]; //d'(u,v)=d(u,v)+dist(u)-dist(v)
        }
    }
}

void createGraph() {
   
    int u, v, k, w;
    cin >> graph.n >> graph.m;

    for (k = 1; k <= graph.m; ++k) {
   
        cin >> u >> v >> w;
        graph.adj[u].push_back(E(v, w));
    }
}

void print_shortest_path(int s, int v) {
   
    if (v == s) {
   
        cout << s << " ";
        return;
    }
    if (parent[s][v] == 0) {
   
        cout << "no path from " << s << " to " << v << endl;
        return;
    }
    print_shortest_path(s, parent[s][v]);
    cout << v << " ";
}
void print_path() {
   
    for (int s = 1; s <= graph.n; ++s) {
   
        cout << "start point=" << s << ":" << endl;
        for (int v = 1; v <= graph.n; ++v) {
   
            print_shortest_path(s, v);
            cout << ",dist=" << dist[s][v] << endl;
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
   
    createGraph();
    johnson();
    print_path();
}

正确性证明

为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？

在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能。

诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关。

势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的。

接下来回到正题。

在重新标记后的图上，从 s 点到 t 点的一条路径 s→p1→p2→⋯→pk→t 的长度表达式如下：

(w(s,p1)+hs−hp1)+(w(p1,p2)+hp1−hp2)+⋯+(w(pk,t)+hpk−ht)

化简后得到：

w(s,p1)+w(p1,p2)+⋯+w(pk,t)+hs−ht

无论我们从 s 到 t 走的是哪一条路径， hs−ht 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！

为了方便，下面我们就把 hi 称为 i 点的势能。

上面的新图中 s→t 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 s→t 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 s→t 的最短路与新图上 s→t 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式，图上任意一边 (u,v) 上两点满足： hv≤hu+w(u,v) 。这条边重新标记后的边权为 w′(u,v)=w(u,v)+hu−hv≥0 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

这样，我们就证明了 Johnson 算法的正确性。

不同方法的比较

注：表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 priority_queue 实现。

输出方案

开一个 pre 数组，在更新距离的时候记录下来后面的点是如何转移过去的，算法结束前再递归地输出路径即可。

比如 Floyd 就要记录 pre[i][j] = k; ，Bellman-Ford 和 Dijkstra 一般记录 pre[v] = u 。

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