Euler函数

欧拉函数: $\phi \left(n\right)$φ(n) 小于等于n的数中与n互质的数的个数

$\phi \left(1\right)=1$φ(1)=1（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。

若n是质数p的k次幂， $\phi \left(n\right)=\phi \left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

若 p 是质数 $\phi \left(p\right)=p-1$φ(p)=p−1

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质， $\phi \left(mn\right)=\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)$φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若 $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$n=p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​

则 $\phi \left(n\right)=n{\prod }_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})$φ(n)=n∏i=1r​(1−pi​1​)。

所以，能通过O( $\sqrt{n}$n ​ )的时间，求出 $\phi \left(n\right)$φ(n)

template<class T>
T euler(T n){
    T res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;++i){//任何数最多只有一个大于根号n质因子。
        if(n%i==0){
            res-=res/i;
            while(n%i==0)n/=i;//将因子i全部除去，防止合数被筛
        }
    }
    if(n>1)res-=res/n;//若有大于根号n的质因子
    return res;
}

线性筛欧拉函数：

1. $\phi \left(p\right)=p-1$φ(p)=p−1
2. φ(i×p)=p×φ(i),(imodp=0)
3. φ(i×p)=φ(p)×φ(i)=(p−1)×φ(i),(imodp̸​=0）

const int MAXN=3e6+8;
int phi[MAXN];
int prime[MAXN],cnt;
bool nprime[MAXN];
void getphi(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;++i){
        if(!nprime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;//素数的phi值等于p-1
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<MAXN;++j){
            nprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];// i是p的倍数
                break;
            }
            else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);//i，p互质
        }
    }
}