离散时间傅里叶变换

1. 离散时间傅里叶变换的导出

针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一序列 $x\left[n\right]$x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 $N_1$N1​ 和 $N_2$N2​，在 $-N_1⩽N⩽N_2$−N1​⩽N⩽N2​ 以外， $x\left[n\right]=0$x[n]=0。下图给出了这种类型的一个信号。

由这个非周期信号可以构成一个周期序列 $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n]，使 $x\left[n\right]$x[n] 就是 $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n] 的一个周期。随着 $N$N 的增大， $x\left[n\right]$x[n] 就在一个更长的时间间隔内与 $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n] 相一致。而当 $N\to \infty$N→∞，对任意有限时间值 $n$n 而言，有 $\tilde{x}\left[n\right]=x\left[n\right]$x~[n]=x[n]。

现在我们来考虑一下 $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n] 的傅里叶级数表示式

$\begin{array}{}\text{(1)}& \tilde{x}\left[n\right]=\sum _{k=\left(N\right)}{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$x~[n]=k=(N)∑​ak​ejk(2π/N)n(1)

$\begin{array}{}\text{(2)}& a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=\left(N\right)}\tilde{x}\left[n\right]e^{-jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$ak​=N1​n=(N)∑​x~[n]e−jk(2π/N)n(2)

因为在 $-N_1⩽N⩽N_2$−N1​⩽N⩽N2​ 区间的一个周期上 $\tilde{x}\left[n\right]=x\left[n\right]$x~[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上

$\begin{array}{}\text{(3)}& a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=-N_1}^{N_2}x\left[n\right]e^{-jk\left(2\pi /N\right)n}=\frac{1}{N}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left[n\right]e^{-jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$ak​=N1​n=−N1​∑N2​​x[n]e−jk(2π/N)n=N1​n=−∞∑+∞​x[n]e−jk(2π/N)n(3)

现定义函数

$\begin{array}{}\text{(4)}& X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left[n\right]e^{-j\omega n}\end{array}$X(ejω)=n=−∞∑+∞​x[n]e−jωn(4)

可见这些系数 $a_k$ak​ 正比于 $X\left(e^{j\omega }\right)$X(ejω) 的各样本值，即

$\begin{array}{}\text{(5)}& a_k=\frac{1}{N}X\left(e^{jk{\omega }_0}\right)\end{array}$ak​=N1​X(ejkω0​)(5)

式中， ${\omega }_0=2\pi /N$ω0​=2π/N 用来记作在频域中的样本间隔。将（1） 和 （5）结合在一起， $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n] 就可以表示为

$\begin{array}{}\text{(6)}& \tilde{x}\left[n\right]=\sum _{k=\left(N\right)}\frac{1}{N}X\left(e^{jk{\omega }_0}\right)e^{jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=\left(N\right)}X\left(e^{jk{\omega }_0}\right)e^{jk{\omega }_{0}n}{\omega }_0\end{array}$x~[n]=k=(N)∑​N1​X(ejkω0​)ejkω0​n=2π1​k=(N)∑​X(ejkω0​)ejkω0​nω0​(6)

随着 $N\to \infty$N→∞， $\tilde{x}\left[n\right]$x~[n] 趋近于 $x\left[n\right]$x[n]，式（6）的极限就变成 $x\left[n\right]$x[n] 的表达式。再者，当 $N\to \infty$N→∞ 时，有 ${\omega }_0\to 0$ω0​→0，式（6）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X\left(e^{jk{\omega }_0}\right)e^{jk{\omega }_{0}n}$X(ejkω0​)ejkω0​n 宽度为 ${\omega }_0$ω0​ 的矩形的面积。而且，因为这个求和是在 $N$N 个 ${\omega }_0=2\pi /N$ω0​=2π/N 的间隔内完成的，所以总的积分区间总是有一个 $2\pi$2π 的宽度。式（6）和式（4）就分别变成

$\begin{array}{}\text{(7)}& \boxed{{\displaystyle x\left[n\right]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega }}\end{array}$x[n]=2π1​∫2π​X(ejω)ejωndω​(7)

$\begin{array}{}\text{(8)}& \boxed{{\displaystyle X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left[n\right]e^{-j\omega n}}}\end{array}$X(ejω)=n=−∞∑+∞​x[n]e−jωn​(8)

（7）式和 （8）式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 称为 $X\left(t\right)$X(t) 的离散时间傅里叶变换，也通常被称为频谱。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑如下信号
$\begin{array}{}\text{(9)}& x\left[n\right]=e^{j{\omega }_{0}n}\end{array}$x[n]=ejω0​n(9)

其傅里叶变换是如下的冲激串

$\begin{array}{}\text{(10)}& X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)\end{array}$X(ejω)=l=−∞∑+∞​2πδ(ω−ω0​−2πl)(10)

为了验证该式，必须求出其对应的反变换

$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }\sum _{l=-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)e^{j\omega n}d\omega \end{array}$2π1​∫2π​X(ejω)ejωndω=2π1​∫2π​l=−∞∑+∞​2πδ(ω−ω0​−2πl)ejωndω(11)

注意，在任意一个长度为 $2\pi$2π 的积分区间内，在上式的和中真正包括的只有一个冲激，因此，如果所选的积分区间包含在 ${\omega }_0+2\pi r$ω0​+2πr 处的冲激，那么

$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega =e^{j({\omega }_0+2\pi r)n}=e^{j{\omega }_{0}n}\end{array}$2π1​∫2π​X(ejω)ejωndω=ej(ω0​+2πr)n=ejω0​n(12)

现在考虑一周期序列 $x\left[n\right]$x[n]，周期为 $N$N，其傅里叶级数为

$\begin{array}{}\text{(13)}& x\left[n\right]=\sum _{k=\left(N\right)}{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$x[n]=k=(N)∑​ak​ejk(2π/N)n(13)

这时，傅里叶变换就是

$\begin{array}{}\text{(14)}& X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }\sum _{k=\left(N\right)}2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0-2\pi l)\end{array}$X(ejω)=k=−∞∑+∞​2πak​δ(ω−N2πk​)=l=−∞∑+∞​k=(N)∑​2πak​δ(ω−kω0​−2πl)(14)

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。

3. 离散时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x\left[n\right]$x[n] 和 $X\left(e^{j\omega }\right)$X(ejω) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

x[n]↔FX(ejω)

3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性

$\begin{array}{}\text{(15)}& \boxed{{\displaystyle X\left(e^{j(\omega +2\pi )}\right)=X\left(e^{j\omega }\right)}}\end{array}$X(ej(ω+2π))=X(ejω)​(15)

3.2. 线性

若

x1​[n]↔FX1​(ejω)

和

x2​[n]↔FX2​(ejω)

则

ax1​[n]+bx2​[n]↔FaX1​(ejω)+bX2​(ejω)​(16)

3.3. 时移与频移性质

若

x[n]↔FX(ejω)

则

x[n−n0​]↔Fe−jωn0​X(ejω)​(17)

ejω0​nx[n]↔FX(ej(ω−ω0​))​(18)

3.4. 共轭及共轭对称性

若

x[n]↔FX(ejω)

则

x∗[n]↔FX∗(e−jω)​(19)

共轭性质就能证明，若 $x\left(t\right)$x(t) 为实函数，那么 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 就具有共轭对称性，即

$\begin{array}{}\text{(20)}& \boxed{{\displaystyle X\left(e^{j\omega }\right)=X^{\ast }\left(e^{-j\omega }\right)\left[x\right[n\left]为实\right]}}\end{array}$X(ejω)=X∗(e−jω)[x[n]为实]​(20)

这就是说，离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.5. 差分与累加

x[n]−x[n−1]↔F(1−e−jω)X(ejω)​(21)

m=−∞∑n​x[m]↔F1−e−jω1​X(ejω)+πX(ej0)k=−∞∑+∞​δ(ω−2πk)​(22)

3.6. 时间反转

x[−n]↔FX(e−jω)​(23)

3.7. 时域扩展

若令 是一个正整数，并且定义

$\begin{array}{}\text{(24)}& x_{\left(k\right)}\left[n\right]=\{\begin{array}{cc}x\left[n/k\right]& \text{当 }n为k的整数倍\\ 0,& \text{当 }n不为k的整数倍\end{array}\end{array}$x(k)​[n]={x[n/k]0,​当 n 为 k 的整数倍当 n 不为 k 的整数倍​(24)

x(k)​[n]↔FX(ejkω)​(25)

3.8. 频域微分

nx[n]↔FjdωdX(ejω)​​(26)

3.9. 帕斯瓦尔定理

$\begin{array}{}\text{(27)}& \boxed{{\displaystyle \sum _{-\infty }^{+\infty }\mid x\left[n\right]{\mid }^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }\mid X\left(e^{j\omega }\right){\mid }^{2}d\omega }}\end{array}$−∞∑+∞​∣ x[n] ∣2=2π1​∫2π​∣X(ejω)∣2dω​(27)

3.10. 卷积性质

y[n]=h[n]∗x[n]↔FY(ejω)=H(ejω)X(ejω)​(28)

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.11. 相乘性质

y[n]=x1​[n]x2​[n]↔FY(ejω)=2π1​∫2π​X1​(ejθ)X2​(ej(ω−θ))dθ​(29)
两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

5. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶型

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