BAT算法面试题(6)--最长的斐波那契子序列的长度(动态规划法)

一.面试题目

如果序列X_1,X_2,...,X_n满足下列条件,就说它是 斐波拉契式的:

• n >= 3
• 对于所有i+2 <= n,都有X_i + X_{i+1} = X_{i+2};

给定一个严格递增的正整数数组形成序列.找到A中最长的斐波拉契式子序列的长度.如果一个不存在,返回0.比如,子序列是从原序列A中派生出来的.它从A中删除任意数量的元素.而不改变其元素的顺序.例如[3,5,8]是[3,4,5,6,7,8]的子序列.

二.案例

案例(1)

• 输入:[1,2,3,4,5,6,7,8]
• 输出: 5
• 原因: 最长的斐波拉契式子序列:[1,2,3,5,8]

案例(2)

• 输入:[1,3,7,11,12,14,18]
• 输出: 3
• 原因: 最长的斐波拉契式子序列:[1,11,12],[3,11,14],[7,11,18]

三.解决方案-- 使用Set(集合)暴力法

• 思路

将斐波拉契式的子序列中的2个连续项A[i],A[j] 视为单个结点(i,j).整个子序列是这些连续结点的之间的路径.例如,对于斐波拉契式的子序列,(A[1] = 2,A[2] = 3,A[4] = 5,A[7] = 8,A[10] = 13),结点的路径就为(1,2)<->(2,3)<->(4,7)<->(7,10).

这样做的目的,只有当A[i]+A[j] == A[k]时.两结点(i,j)和(j,k)才是连贯的.我们需要这个信息才能知道它们之间是可以连通的.

• 算法

设longest[i,j]是结束在[i,j]的最长路径.那么如果(i,j)和(j,k)是连通的,longest[j,k] = longest[i,j]+1.由于i是由A.index(A[k] - A[j])唯一确定的.我们在i检查每组j < k,并相应更新longest[j,k]

四.代码

class Solution { public: int lenLongestFibSubseq(vector<int>& A) { int N = A.size(); unordered_map<int, int> index; for (int i = 0; i < N; ++i) index[A[i]] = i; unordered_map<int, int> longest; int ans = 0; for (int k = 0; k < N; ++k) for (int j = 0; j < k; ++j) { if (A[k] - A[j] < A[j] && index.count(A[k] - A[j])) { int i = index[A[k] - A[j]]; longest[j * N + k] = longest[i * N + j] + 1; ans = max(ans, longest[j * N + k] + 2); } } return ans >= 3 ? ans : 0; } }; 

五.复杂度分析

• 时间复杂度:O(N^2),其中N指的是A的长度
• 空间复杂度:O(NlogM),其中M是A中的最大的元素.

六.学习建议

• 先了解基本思路
• 在带着数据,理解代码的执行