题意

一个n*m的矩阵，初始值全为0，每一行每一列操作一次可以加1或者减1，问能否操作得到给定矩阵。

分析

  • 行和列的分别的加减是可以相互抵消的，因此我们只需要考虑行的加和列的减。
  • 对于给定矩阵每一个数\(x\)，假设对应行\(u\)加上\(r_u\)次，对应列\(v\)减去\(c_v\)次，即\(r_u+c_v=x\)，转化为不等式，即

\[ r_u-c_v<=x \\ c_v-r_u<=-x \]

  • 对于这样的不等式，使用差分约束系统转化为图论问题，即建边\((v+n,u,x)\)和\((u,v+n,-x)\)，然后判断是否有解，只需用spfa判负环即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+50;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int T,n,m,k,u,v,w;
struct Edge{
    int v,w,next;
}e[N];
int cnt,head[N];
void init(){
    cnt=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int w){
    e[cnt]=Edge{v,w,head[u]};
    head[u]=cnt++;
}
int vis[N],dis[N];
bool spfa(int s){
    for(int i=1;i<=s;i++){
        vis[i]=0;
        dis[i]=INF;
    }
    queue<int> q;
    q.push(s);
    vis[s]++;
    dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;
            int w=e[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                q.push(v);
                vis[v]++;
                if(vis[v]>s+1){
                    return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        init();
        int s=n+m+1;
        for(int i=1;i<s;i++){
            add(s,i,0);
        }
        for(int i=1;i<=k;i++){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(v+n,u,w);
            add(u,v+n,-w);
        }
        if(spfa(s)){
            printf("No\n");
        }else{
            printf("Yes\n");
        }
    }
    return 0;
}