import sys, math

def main():
    m = int(sys.stdin.readline().strip())
    r = 0.5
    p = (m + 1) // 2
    n = max(8000, min(20000, p * 200))
    d = r / n
    y = [i * d for i in range(n + 1)]
    v = [(r * r - t * t) ** 0.5 for t in y]
    s = [0.0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        t = y[i]
        s[i] = 0.5 * (t * v[i] + r * r * math.asin(t / r))
    inf = 1e100
    dp0 = [inf] * (n + 1)
    dp0[0] = 0.0

    def dnc(l, r2, k1, kr):
        mid = (l + r2) // 2
        best = inf
        arg = k1
        ym = y[mid]
        sm = s[mid]
        up = min(kr, mid - 1)
        for k in range(k1, up + 1):
            val = dp0[k] + (ym - y[k]) * v[k] - (sm - s[k])
            if val < best:
                best = val
                arg = k
        dp1[mid] = best
        if l <= mid - 1:
            dnc(l, mid - 1, k1, arg)
        if mid + 1 <= r2:
            dnc(mid + 1, r2, arg, kr)

    for _ in range(p):
        dp1 = [0.0] * (n + 1)
        dnc(1, n, 0, n - 1)
        dp0 = dp1

    ans = 4 * (s[n] + dp0[n])
    print(f"{ans:.4f}")

if __name__ == "__main__":
    main()

思路（高信号版）

对称化与解律

图中取正方向为0，半径 $r = 0.5$ ，最优解关于水平/垂直轴对称，且横纵分割完全一致，可只考虑第一象限并令纵向分割点与横向相同。
设第一象限是 $[0, r]$ 按高度切成 $p = (M + 1)/2$ 段： $0 = y_0 < y_1 < \cdots < y_p = r$ 。
染色区域等价为台阶函数面积
图的边界在第一象限可写为 $x(y) = \sqrt{r^2 - y^2}$ （随y单调递减）。
在条带 $[y_i, y_j]$ 内，只要某个像素与图像相交，就必须把该条带里所有 $x \leq \max_{y \in [y_i, y_j]} x(y) = x(y_i)$ 的像素都染黑。
因而第一象限的染色面积与台阶函数面积

$A_{\text{step}}((y_i)) = \sum_{j=1}^{p} (y_i - y_{i-1}) x(y_{i-1})$

四分之一圆真实面积

$S(r) = \int_{0}^{r} x(y) dy = \frac{1}{3} [(y x(y) + r^2 \arcsin(y/r))]_0^r$

目标

使"过宽面积" $E = A_{\text{step}} - S(r) \geq 0$ 最小，则总最优染色面积为

$A' = 4(S(r) + E_{\text{min}})$

离散化与动态规划

将 $[0, r]$ 均匀离散为 $n$ 个点 $y_j = j \cdot r/n$ （取 $n$ 较大，如8k-20k，保证误差足够小）。
预处理：
设 $dp_l[l]$ 表示用t段距离 $[0, y_j]$ 覆盖的最大过宽面积，转移 $(k < j)$ ：

$dp_l[l] = \min_{x} \left\{ dp_{l-1}[k] + (y_j - y_k) v[k] - (s(j) - s[k]) \right\}$

初始 $dp_l[0] = 0$ 。

加速（单调减少分治优化）

上述代价函数满足Monge性（源于 $x(y)$ 的凸凹性质），最优决策点随 $j$ 单调。
用分治优化（Divide and Conquer Optimization）把一层DP从 $Q(r^2)$ 转到 $Q(n \log n)$ ，总复杂度约 $Q(p \log n)$ ，可轻松通过 $M \leq 200$ 。