2020牛客暑期多校训练营（第二场）G

题目描述

Given a sequence $a$ of size $n$ and a sequence $b$ of size $m$ , determine the number of subintervals called $s$ of size $m$ in $a$ satisfying $\forall i \in \{1, 2, \cdots, m\}$ , $s_i \geqslant b_i$ .

输入描述

The first line contains two integers $n,m$ $(1\leqslant n\leqslant 150000$ , $1\leqslant m\leqslant$ $\min(n, 40000))$ . The second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \cdots, a_n$ $(1\leqslant a_i\leqslant 10^9)$ , denoting the sequence $a$ .
The third line contains $m$ integers $b_1, b_2, \cdots, b_n$ $(1\leqslant b_i\leqslant 10^9)$ , denoting the sequence $b$ .

输出描述

Only one line containing one integer, denoting the answer.

示例1

输入

6 3
1 4 2 8 5 7
2 3 3

输出

2

说明

The two subintervals are $[2,8,5],[8,5,7]$ .

分析

一道利用 $\text{bitset}$ 的神题。
对每一个 $b_i$ 求一个长度为 $n$ 的二进制串 $x$ ， $x_j=1$ 当且仅当 $a_j\geqslant b_i$ 。
对于样例，可以构造三个二进制串： $\begin{aligned}&a_1\ a_2\ a_3\ a_4\ a_5\ a_6\\b_1=2\ \ \ \ &\ 0\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\\b_2=3\ \ \ \ &\ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\\b_3=3\ \ \ \ &\ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\end{aligned}$ 。设置一个 $\text{bitset}\ cur$ 来代替二进制串，由于 $\text{bitset}$ 由低位向高位存储，需要将上述二进制串镜像翻转，即 $\begin{aligned}&a_6\ a_5\ a_4\ a_3\ a_2\ a_1\\b_1=2\ \ \ \ &\ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\\b_2=3\ \ \ \ &\ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\\b_3=3\ \ \ \ &\ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\end{aligned}$ ；比如， $a_2\geqslant b_1$ ， $cur_2=1$ 。对于一个合法区间，设其起点为 $k$ ，则 $a_k\geqslant b_1,a_{k+1}\geqslant b_2,\cdots,a_{k+m-1}\geqslant b_m$ ；不妨将上述二进制串的向右平移，得到 $\begin{aligned}b_1=2\ \ \ \ &\ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\\b_2=3\ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\\b_3=3\ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\end{aligned}$ ；对于同一列，为 $a_k$ 与 $b_1$ 至 $a_{k+m-1}$ 与 $b_m$ 的对应大小关系，当且仅当一列有 $m$ 个 $1$ 时，存在一个长度为 $m$ 的合法区间。也就是说，将移动后的 $m$ 个 $\text{bitset}$ 进行与运算，最后得到的结果中 $1$ 的个数即为答案；其中，第 $i$ 个串右移 $i-1$ 位。
最暴力枚举获得 $m$ 个 $\text{bitset}$ 的时间复杂度为 $O(mn)$ ，显然是不可行的。不妨用 pair<int,int> 记录 $a,b$ ， $\text{first}$ 为数值， $\text{second}$ 为元素在原序列中的位置，接着对 $a,b$ 按数值降序排列。定义两个 $\text{bitset}$ ，用 $ans$ 记录与运算的最后结果（初始化为全 $1$ ）；用 $cur$ 记录 a[j].first>=b[i].first 时， $a_j$ 在原序列中的位置。接下来提到的 $a,b$ 中的元素，都为排序后的序列中元素。枚举 $b_i$ ，接着枚举 $a_j$ ，若 a[j].first>=b[i].first，那么令 cur.set(a[j].second)；得到 $cur$ 后，将 $cur$ 右移 b[i].second-1 位，同 $ans$ 进行与运算；多次迭代后，ans.count()即为答案。事实上，经过排序后的序列，不必每次都从 $1$ 开始枚举 $a_j$ ；当枚举 $b_i$ 时， $b_{i-1}$ 的数值必然比 $b_i$ 的数值大，若 a[j].first>=b[i-1].first，必定有 a[j].first>=b[i].first；也就是说，若满足a[j].first>=b[i-1].first的最大的 $j$ 为 $x$ ，考察 $b_i$ 时，直接从 $a_{x+1}$ 开始枚举即可，上一次得到的 $cur$ 中的 $1$ ，在此次的考察中一定是正确的，对于 $a_1\sim a_x$ ，也是不遗漏的。

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Copyright: 11D_Beyonder All Rights Reserved
Author: 11D_Beyonder
Problem ID: 2020牛客暑期多校训练营（第二场） Problem G
Date: 8/5/2020
Description: To use bitset
*******************************************************************/
#include<iostream>
#include<bitset>
#include<utility>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=150004;
pair<int,int>a[N],b[N];
int n,m;
bitset<N>ans,cur;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++) 
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[i]=make_pair(x,i);
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        b[i]=make_pair(x,i);
    }
    //按数值降序
    sort(a+1,a+1+n,[](const pair<int,int>& x,const pair<int,int>& y){return x.first>y.first;});
    sort(b+1,b+1+m,[](const pair<int,int>& x,const pair<int,int>& y){return x.first>y.first;});
    //初始化
    ans.set();
    cur.reset();
    //枚举 b
    for(i=1,j=1;i<=m;i++)
    {
        //枚举 a
        //利用上次信息
        while(j<=n&&b[i].first<=a[j].first)
        {
            cur.set(a[j].second);
            j++;
        }
        //与运算
        ans&=cur>>b[i].second-1;
    }
    cout<<ans.count()<<endl;
    return 0;
}