NC4853C_牛客博客

题意

由小写英文字母组成的长度为n的一个字符串，求不相同的长度为k的子串的数量对1e9+7取模。 $1≤n≤1e3 \quad 0 \leq k \leq n$

思路

$DP$ 正难则反
正难则反，我们求所有不同的子串，不如把所有子串的数量求出来再减掉所以相同的子串数量。
若不去重求所有长度为k的子串的数量，则可由 $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]$ 推出到第 $i$ 个数为止长度为 $j$ 的子串数量。 $f[i-1][j]$ 不难理解, $f[i-1][j-1]$ 代表的是到第 $i-1$ 个数取了 $j-1$ 个数再加上第s[i]个数构成了 $j$ 个数。
本题的难点在于如何去重。我们观察一个字符串 $x...a_1...a_2$ 。图片说明
打个简单的表让大家看一下

发现以 $a$ 结尾的长度 $j$ 的字符串会在 $f[pos_{a1}][j]=f[pos_{a1}-1][j]+f[pos_{a1}-1][j-1]$ 中计算一次以 $a_1$ 为结尾的子串，而 $f[pos_{a2}][j]=f[pos_{a2}-1][j]+f[pos_{a2}-1][j-1]$ 中又会计算一次以 $a_2$ 为结尾的子串，那么就重复计算了前面的那部分以 $a1$ 为结尾的子串，显然后者包括前者且大于等于前者。

所以这里要用到 $pre[s[i]]$ 来记录上一个 $s[i]$ 所在的位置，当 $pre[s[i]]>0$ 时，即上一个 $s[i]$ 存在时，及时的减去上一个以 $f[pre[s[i]]-1][j-1]$
坑点：注意k为0时答案为1(出题人说的），注意初始化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const ll  mod  = 1e9 + 7;
const ll  maxn = 1e6 + 5;
const int N = 1e3+5;

ll n,k,pre[N],f[N][N];
char s[N];

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>k;
    cin>>s+1;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
            if(pre[s[i]]) f[i][j]-=f[pre[s[i]]-1][j-1];
            f[i][j]%=mod;
        }
        pre[s[i]]=i;
    }
    cout<<(f[n][k]+mod)%mod<<'\n';
    return 0;
}