问题 C: 【例题3】Fibonacci前n项和
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题目链接:http://acm.ocrosoft.com/problem.php?cid=1704&pid=2
题目描述
大家都知道Fibonacci数列吧,f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=3...也就是f[n]=f[n-1]+f[n-2]。现在,问题很简单,输入n和m,求前n项和取模m。
输入
输入n和m
1<=n<=2 000 000 000
1<=m<=1 000 000 010
输出
输出前n项和取模m。
样例输入
5 1000
样例输出
12
思路:矩阵快速幂,加推导斐波那契数列的矩阵递推式,另外,我们知道菲波那切数列的前n项和等于菲波那切数列的第n-2项值-1
即:S(n)=F(n+2)-1
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
struct MUL
{
ll m[3][3];
}ans, res;
MUL mul(MUL a, MUL b, int n, int mod)//矩阵乘法,定义结构体函数,传入结构体,返回结构体,这样比较方便
{
MUL tmp;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
tmp.m[i][j] = 0;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
tmp.m[i][j] += ((a.m[i][k] % mod) *(b.m[k][j] % mod)) % mod;
}
}
}
return tmp;
}
ll quickpower(int N, int n, int mod)//矩阵快速幂
{
MUL C, res;//C是常数矩阵
memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
C.m[1][1] = 1;
C.m[1][2] = 1;
C.m[2][1] = 1;
C.m[2][2] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)res.m[i][i] = 1;//单位矩阵
while (N)
{
if (N & 1)
res = mul(res, C, n, mod);
C = mul(C, C, n, mod);
N = N >> 1;
}
return res.m[1][1];
}
int main()
{
ll n, mod;
cin >> n >> mod;
cout << quickpower(n + 1, 2, mod) % mod - 1 << endl;//S(n)=F(n+2)-1
}