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问题描述

在《Harry Potter and the Deathly Hallows》中，Harry Potter他们一起逃亡，现在有许多的东西要放到赫敏的包里面，但是包的大小有限，所以我们只能够在里面放入非常重要的物品。

现在给出该种物品的数量、体积、价值的数值，希望你能够算出怎样能使背包的价值最大的组合方式，并且输出这个数值，赫敏会非常感谢你。

输入格式

第1行有2个整数，物品种数n和背包装载体积v；

第2行到i+l行每行3个整数，为第i种物品的数量m、体积w、价值So

输出格式

仅包含一个整数，即为能拿到的最大的物品价值总和。

样例输入

2 10
3 4 3
2 2 5

样例输出

13

样例说明

选第一种一个，第二种两个，结果为3×1+5×2=13。

数据规模

对于30%的数据：1≤v≤500;1≤n≤2000;1≤m≤10;1≤w≤20;1≤s≤100；
对于l00%的数据：1≤v≤500;1≤n≤2000;1≤m≤5000;1≤w≤20;1≤s≤100。

解题思路

多重背包。
Accepted Code 未优化:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[505], u[2005], v[2005], w[2005];
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    	scanf("%d%d%d", &u[i], &w[i], &v[i]);
    	for (int k = 1; k <= u[i]; k++) {
            for (int j = m; j >= k * w[i]; j--)
            	dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[m]);
    return 0;
}

Accepted Code 优化:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[505], p;
void CompletePack(int w, int v) {
    for (int j = w; j <= p; j++)
        dp[j] = max(dp[j - w] + v, dp[j]);
}
void ZeroOnePack(int w, int v) {
    for (int j = p; j >= w; j--)
        dp[j] = max(dp[j - w] + v, dp[j]);
}
void MultiplePack(int w, int v, int m) {
    if (w * m >= p) {//如果物品的数量足够多，完全可以满足体积限制，那么就转化为完全背包问题(不限制每种物品的数量)
        CompletePack(w, v);//完全背包 
        return ;
    }
    int k = 1;
    while (k < m) {//二进制优化 
        ZeroOnePack(k * w, k * v);
        m -= k;
        k <<= 1;
    }
    ZeroOnePack(m * w, m * v);//物品还有剩余用01背包 
}
int main() {
    int n, u, v, w;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d%d%d", &u, &w, &v);
        MultiplePack(w, v, u);
    }
    printf("%d\n", dp[p]);
    return 0;
}