牛客35627C - Card

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/35627/C 知识点：概率期望 难度：蓝

题意

有 C 张金卡，S 张禁卡，B 张炸弹卡。 现在不放回地抽卡， 若取到金卡则继续抽卡， 若取到禁卡则立即停止抽卡， 若取到炸弹卡，则清空之前取到的所有金卡并立即停止抽卡。 求抽卡停止时，取到金卡数量的期望。

思路

考虑期望的线性可加性。

什么是期望的线性可加性？

$E=\mathrm{事}\mathrm{件}1\mathrm{对}\mathrm{期}\mathrm{望}\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\times P_1+\mathrm{事}\mathrm{件}2\mathrm{对}\mathrm{期}\mathrm{望}\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\times P_2+\mathrm{事}\mathrm{件}3\mathrm{对}\mathrm{期}\mathrm{望}\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\times P_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\mathrm{事}\mathrm{件}n\mathrm{对}\mathrm{期}\mathrm{望}\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\times P_{n}E=事件1对期望的贡献\backslash times\; P\_1+事件2对期望的贡献\backslash times\; P\_2+事件3对期望的贡献\backslash times\; P\_3+...+事件n对期望的贡献\backslash times\; P\_n$ 需要注意的是：期望的线性可加性在使用前，要注意确保这些事件彼此相互独立，互不影响。

这些题目可以让你练手： CF280C、洛谷4316、洛谷3232、洛谷6835

事件的确定、概率的计算

既然是求取到金卡数量的期望，咱们一定要从金卡下手。 禁卡、爆炸卡...太复杂，咱们不妨先将所有卡分为两类： 好卡（金卡）和坏卡（禁卡和爆炸卡） 就以好卡的最小单位，1张好卡下手，设事件为这张好卡在坏卡被抽到之前 被抽到， 那么在这种情况下，这张卡是一定能对期望做出 $11$ 的贡献。 此事件发生的概率 $P=\frac{1}{B+S+1}P=\backslash frac\{1\}\{B+S+1\}$

为什么是$P=\frac{1}{B+S+1}P=\backslash frac\{1\}\{B+S+1\}$？ 因为这是不可放回地抽。

如果，如果，炸弹卡不具备清空金卡的作用，那么答案就是 $E=C\times \frac{1}{B+S+1}E=C\backslash times\; \backslash frac\{1\}\{B+S+1\}$ 注意：实际上炸弹能清空金卡，那么如果很不幸最后抽到的那一张为炸弹卡（发生的概率为 $\frac{B}{B+S}\backslash frac\{B\}\{B+S\}$），那么直接就是 $00$。 所以，最终的答案 $ans=C\times \frac{1}{B+S+1}\times (1-\frac{B}{B+S})ans=C\backslash times\; \backslash frac\{1\}\{B+S+1\}\backslash times(1-\backslash frac\{B\}\{B+S\})$

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define int long long
const int N	= 1e6+10;
const int MOD	= 1e9+7;
using namespace std;

long long POW(long long a,long long b)
{
	long long ans=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
		{
			ans*=a, ans%=MOD;
		}
		a*=a, a%=MOD;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int Inv(int a,int b)
{
	return a*POW(b, MOD-2)%MOD;
}

int Gold,Proh,Bomb;
int T;

void Solve()
{
	if(Proh==0&&Bomb==0)
	{
		printf("%lld\n",Gold);
		return;
	}
	//禁止牌在炸弹牌之前被抽到
	int tmp1 = Inv(Proh, (Proh+Bomb)%MOD);
	
	//某一张金牌在禁止牌和炸弹牌之前被抽到
	int tmp2 = Inv(1, (Proh+Bomb+1)%MOD);
	
	int ans = Gold * tmp2 % MOD * tmp1 % MOD;
	
	printf("%lld\n",ans);
}

signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld %lld %lld",&Gold,&Proh,&Bomb);
		Solve();
	}
	return 0;
}