I题题解

题解

前置知识

• prufer序列
• 组合数

prufer序列的性质：

• 序列与无根树一一对应
• 度数为x的节点会在序列中出现x-1次
• 一个n个节点的完全图的生成树的个数为

更多性质参考：https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/prufer.html

具体推导

• 代表森林中有个节点的方案数
• 代表有个节点的无根树的度数平方和
• 代表有个节点的无根树森林的度数平方和
• 
• 
• 

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 5000
using namespace std;
int mod;
long long ans[N+5],f[N+5],dp[N+5],c[N+5][N+5],vis[N+5][N+5];
ll ksm(ll x,ll k,ll p)
{
    //cout<<"       "<<x<< " "<<k<<" "<<vis[x][k]<<endl;
    if (k<=0) return 1;
    if (vis[x][k]) return vis[x][k];

    ll res=1;
    //cout<<"                   "<<res<<endl;
    int tmpx=x,tmpk=k;
    while (k)
    {
        if (k&1) res=res*x%p; x=x*x%p; k>>=1;
       // cout<<" AAA "<<k<<endl;
    }

    vis[tmpx][tmpk]=res;
    //cout<<"                  "<<res<<endl;
    return res;
}
int main()
{

    int T;
    cin>>T>>mod;

    for (int i=0; i<=N; i++)
        c[i][0]=c[i][i]=1;
    for (int i=2; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<i; j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
   // cout<<"A"<<endl;
    dp[0]=1;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=i; j++)
        {
            //cout<<" "<<i<<" "<<j<<endl;
            dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*ksm(j,j-2,mod)%mod*c[i-1][j-1]%mod)%mod;
        }
   // cout<<"B"<<endl;
    for (int i=1; i<=N; i++)
    {
        for (int j=1; j<=i-1; j++)
            f[i]=(f[i]+j*j%mod*c[i-2][j-1]%mod*ksm(i-1,i-j-1,mod)%mod)%mod;
        f[i]=f[i]*i%mod;
    }
   // cout<<"C"<<endl;
    for (int i=1; i<=N; i++)
    {
        for (int j=1; j<=i; j++)
            ans[i]=(ans[i]+(ans[i-j]*ksm(j,j-2,mod)%mod+f[j]*dp[i-j]%mod)%mod*c[i-1][j-1]%mod)%mod;
    }
    //cout<<"D"<<endl;

    while  (T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}