1到n的k次方和

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$i=1∑n​i=2n(n+1)​
$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$i=1∑n​i2=62n3+3n2+n​
$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$i=1∑n​i3=4n4+2n3+n2​
$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$i=1∑n​i4=306n5+15n4+10n3−n​

补个证明，以平方和为例，高次类似。

$\{\begin{array}{c}(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1\\ n^3-(n-1{)}^3=3(n-1{)}^2+3(n-1)+1\\ \cdots \\ \cdots \\ 2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\end{array}$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(n+1)3−n3=3n2+3n+1n3−(n−1)3=3(n−1)2+3(n−1)+1⋯⋯23−13=3⋅12+3⋅1+1​

左右分别相加，设 ${\sum }_{i=1}^n{i}^2=X$∑i=1n​i2=X，则有 $(n+1{)}^3-1^3=3X+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$(n+1)3−13=3X+3⋅2n(n+1)​+n
整理可得 $X=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$X=62n3+3n2+n​

听说大概还可以用拉格朗日插值法？
博主太菜了，暂时还不会QAQ