第四章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ ，即对任一 $x \in I$ ，都有 $F^{'}(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$ ，那么 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ 或（ $f(x)dx$ ）在区间 $I$ 上的一个原函数
原函数存在定理：连续函数一定有原函数
在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ 或（ $f(x)dx$ ）在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\begin{equation} \int f(x)dx \end{equation}$ 。其中，记号 $\int$ 称为积分号， $f(x)$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量
基本积分表：十分重要！！
不定积分的性质
- 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数存在，则 $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
- 设函数 $f(x)$ 的原函数存在， $k$ 为非零常数，则 $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$

第一类换元法：设 $f(u)$ 具有原函数，且 $u(x)$ 可导，则有换元公式 $\int [\varphi (x)]\varphi^{'} (x)dx = [\int f(u)du]_{u = \varphi (x)}$
一些常用的积分：
- $\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$
- $\int {\frac{1}{x^2 - a^2}}dx = \frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|} + C$
- $\int {\sin^3x}dx = -\cos{x} + \frac{1}{3}\cos^3{x} + C$
- $\int \tan{x}dx = -\ln{|\cos{x}|} + C$
- $\int \cot{x}dx = \ln{|\sin{x}|} + C$
- $\int \csc{x}dx = \ln {| \tan \frac{x}{2} |} + C = \ln {|\csc{x} - \cot{x}|} + C$
- $\int {\sec{x}dx = \ln {|\sec{x} + \tan{x}}|} + C$
第二类换元法：设 $x = \psi (x)$ 是单调可导函数，并且 $\psi^{'} (x) \neq 0$ 。又设 $f[\psi (x)]\psi^{'} (x)$ 具有原函数，则有换元公式： $\int f(x)dx = [\int f[\psi (t)]\psi^{'}(t)dt]_{t = \psi^{-1} (x)}$ ，其中 $\psi^{-1} (x)$ 是 $x = \psi (x)$ 的反函数
一些常用的积分：
- $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$
- $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$