学习笔记——带修莫队

简介

普通的莫队算法相信大家都熟悉，那么如果有些问题加上修改操作是否可以用莫队维护呢？下面就介绍一种 O(n53) 的带修莫队算法。

算法详解

只需要再维护一维表示操作的时间即可

然后我们按照左边界所在块为第一关键字、右边界所在块为第二关键字，操作时间为第三关键字排序

在算答案时再维护一个记录修改操作的指针即可

这样排序所产生的复杂度为：

左指针移动次数: O(块的大小∗n)

右指针移动次数: O(块的大小∗n)

修改指针移动次数: O(块的个数2∗n)

发现如果我们按照朴素莫队设定块的大小复杂度是不优秀的

通过计算我们知道分成 n13 块是最合适的

所以总复杂度 O(n53)

举个栗子：

Codeforce 940F. Machine Learning

求区间内相同数的出现个数的mex,带修改

模板题，移动指针时用vis数组记录区间中是否有i个向相同数出现，由于mex不会很大，所以我们每次求mex暴力枚举即可

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int block,n,m,cnt1,cnt2;
struct Q{
    int l,r,t,id;
}q1[N],q2[N];
int l,r,pos;
bool cmp(Q a,Q b)
{
    if (a.l/block==b.l/block)
    {
        if (a.r/block==b.r/block) return a.t<b.t;
        else return a.r<b.r;
    }
    else return a.l<b.l;
}
int a[N],vis[2*N],lsh[2*N],cnt,p,x,y,tim[2*N];
int ans[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);block=pow(n,2.0/3);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),lsh[++cnt]=a[i];
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);
        if (p==1) q1[++cnt1].l=x,q1[cnt1].r=y,q1[cnt1].id=cnt1,q1[cnt1].t=i;
        else if (p==2) q2[++cnt2].l=x,q2[cnt2].r=y,q2[cnt2].id=cnt2,q2[cnt2].t=i,lsh[++cnt]=y;
    }
    sort(lsh+1,lsh+1+cnt);cnt=unique(lsh+1,lsh+1+cnt)-1-lsh;
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+1+cnt,a[i])-lsh;
    for (int i=1;i<=cnt2;i++) q2[i].r=lower_bound(lsh+1,lsh+1+cnt,q2[i].r)-lsh;
    sort(q1+1,q1+cnt1+1,cmp);
    for (int i=1;i<=cnt1;i++)
    {
        while (r<q1[i].r) r++,vis[tim[a[r]]]--,tim[a[r]]++,vis[tim[a[r]]]++;
        while (l>q1[i].l) l--,vis[tim[a[l]]]--,tim[a[l]]++,vis[tim[a[l]]]++;
        while (l<q1[i].l) vis[tim[a[l]]]--,tim[a[l]]--,vis[tim[a[l]]]++,l++;
        while (r>q1[i].r) vis[tim[a[r]]]--,tim[a[r]]--,vis[tim[a[r]]]++,r--;
        while (pos<cnt2&&q2[pos+1].t<q1[i].t)
        {
            pos++;
            int nw=q2[pos].l;
            int val=q2[pos].r;
            q2[pos].id=a[nw];
            if (l<=nw&&nw<=r)
            {
                vis[tim[a[nw]]]--,tim[a[nw]]--,vis[tim[a[nw]]]++;
                vis[tim[val]]--,tim[val]++,vis[tim[val]]++;
            }
            a[nw]=val;
        }
        while (pos&&q2[pos].t>q1[i].t)
        {
            int nw=q2[pos].l;
            int val=q2[pos].id;
            if (l<=nw&&nw<=r)
            {
                vis[tim[a[nw]]]--,tim[a[nw]]--,vis[tim[a[nw]]]++;
                vis[tim[val]]--,tim[val]++,vis[tim[val]]++;
            }
            a[nw]=val;
            pos--;
        }
        int nw=1;
        while (vis[nw]) nw++;
        ans[q1[i].id]=nw;
    }
    for (int i=1;i<=cnt1;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}