题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/description/876/
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题目描述

给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围

1≤n≤10^6

输入样例

6

输出样例

12

解题思路

题意:求1~n中每个数的欧拉函数之和。
思路:在这个题目中我们不能直接分别去求1~n之间的欧拉函数，会超时，所以我们就可以根据素数筛那样进行欧拉筛法。

要想求欧拉函数需要用到以下几个性质(p为质数):

证明:

  • 因为质数p除了1以外的因子只有p，所以与p互素的个数是p-1个。
  • 令,小于n的正整数共有个,其中与p不互质的个数共个，它们是，所以。
  • 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p) = p * phi(i) (证明略，其实不会证...)
  • 如果i mod p != 0, 那么 phi(i * p) = phi(i) * (p-1)

证明:

  • i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质,那么根据积性函数的性质 phi(i * p) = phi(i) * phi(p)，其中phi(p) = p-1，所以 phi(i * p) = phi(i) * (p-1).

根据这些性质，我们就可以写代码了。

Accepted Code:

//埃筛
/* 
 * @Author: lzyws739307453 
 * @Language: C++ 
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
int phi[MAXN];
void Euler(int n) {
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        phi[i] = i;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!(phi[i] != i)) {
            for (int j = i; j <= n; j += i)
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    Euler(n);
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += phi[i];
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}
//线性筛
/* 
 * @Author: lzyws739307453 
 * @Language: C++ 
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
bool vis[MAXN];
int prime[MAXN], phi[MAXN];
void Euler(int n) {
    phi[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j < cnt && prime[j] <= n / i; j++) {
            vis[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j])
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    Euler(n);
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += phi[i];
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}