Learn

求多元函数的偏导

图片说明

把分母所在的未知数当成未知数，其他未知数当成常数，然后求导。

图片说明

在某个点的偏导：
就把它往里面代就好了

图片说明

求多元函数的二阶偏导

图片说明

这两个结果是完全一样：先对x求偏导再对y求偏导，先对y再对x。
只要偏导的东西是一样的，偏导的顺序不影响结果。

求多元复合函数的偏导

图片说明

先求F对u,v,w的偏导，然后再分别乘u,v,w对x的偏导，然后再加起来。

如果是w=4z这种一元函数，符号应该用d。

求隐函数的偏导

图片说明

求z对x的偏导，就是求F对x的偏导再除以F对z的偏导，然后乘-1。

图片说明

求分式的偏导，其实就是求导数。

Exercise

填空题

已知 $z\ =\ cos(3x^2+2y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\ =\$

图片说明

选择题

已知函数 $z=xy$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\ =\ (\ \ \ \ )$
A.0 B.1 C.-1 D. $xyz$

图片说明

设 $z=f(ax+by)$ ， $f$ 可微，则（）
A. $a\frac{\partial z}{\partial x}=b\frac{\partial z}{\partial y}$ B. $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}$ C. $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial z}{\partial y}$ D. $b\frac{\partial z}{\partial x}=a\frac{\partial z}{\partial y}$

图片说明

计算题

已知 $z=z(x,y)$ 由方程 $e^z-xyz=0$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$

图片说明

已知 $z=ln(2x+y)$ 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$

图片说明

设 $z=\frac{y}{x}，$ $x=e^t,y=1-e^{2t}$ ，求 $\frac{dz}{dt}$

图片说明

已知 $z=z(x,y)$ 由方程 $x^2+y^2+z^2-4z=0$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$

图片说明

已知 $z=z(x,y)$ 由方程 $yz-sin\ z=xy$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$

图片说明

设 $z=f(x^2+y^2,xy)$ ，其中 $f$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$

图片说明

设 $z=ln\ (x+\sqrt{x^2+y^2})$ ，求 $\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}$

图片说明

另一种设法，一样的答案

图片说明

大题

设函数 $f(x,y)=\left\{ \begin{aligned} &(x^2+y^2)cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ ,& \ (x^2+y^2)\ne 0 \\ &0\ ,&\ (x^2+y^2)= 0 \end{aligned} \right.$
试问
1)函数是否连续？
2)函数的偏导数是否存在？
3)函数的偏导数若存在是否连续？
4)函数是否可微？

我不会做，问大佬的

图片说明