转载: 扩展kmp

算法总结第二弹,上次总结了下kmp,这次就来拓展kmp吧。

拓展kmp是对KMP算法的扩展,它解决如下问题:

定义母串S,和字串T,设S的长度为n,T的长度为m,求T与S的每一个后缀的最长公共前缀,也就是说,设extend数组,extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀,要求出所有extend[i](0<=i<n)。

注意到,如果有一个位置extend[i]=m,则表示T在S中出现,而且是在位置i出现,这就是标准的KMP问题,所以说拓展kmp是对KMP算法的扩展,所以一般将它称为扩展KMP算法。

下面举一个例子,S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”,首先,计算extend[0]时,需要进行5次匹配,直到发生失配。


从而得知extend[0]=4,下面计算extend[1],在计算extend[1]时,是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢?答案是否定的,因为通过计算extend[0]=4,从而可以得出S[0,3]=T[0,3],进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3],计算extend[1]时,事实上是从S[1]开始匹配,设辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度。在这个例子中,next[1]=4,即T[0,3]=T[1,4],进一步得到T[1,3]=T[0,2],所以S[1,3]=T[0,2],所以在计算extend[1]时,通过extend[0]的计算,已经知道S[1,3]=T[0,2],所以前面3个字符已经不需要匹配,直接匹配S[4]和T[3]即可,这时一次就发生失配,所以extend[1]=3。这个例子很有代表性,有兴趣的读者可以继续计算完剩下的extend数组。

1. 拓展kmp算法一般步骤

通过上面的例子,事实上已经体现了拓展kmp算法的思想,下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。

首先我们从左到右依次计算extend数组,在某一时刻,设extend[0...k]已经计算完毕,并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P,所谓最远位置,严格来说就是i+extend[i]-1的最大值(0<=i<=k),并且设取这个最大值的位置为po,如在上一个例子中,计算extend[1]时,P=3,po=0。

   

现在要计算extend[k+1],根据extend数组的定义,可以推断出S[po,P]=T[0,P-po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-po+1,P-po],令len=next[k-po+1],(回忆下next数组的定义),分两种情况讨论:

第一种情况:k+len<P

如下图所示:

  

上图中,S[k+1,k+len]=T[0,len-1],然后S[k+len+1]一定不等于T[len],因为如果它们相等,则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+po+len+1]=T[0,len],那么next[k+po+1]=len+1,这和next数组的定义不符(next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度),所以在这种情况下,不用进行任何匹配,就知道extend[k+1]=len。

第二种情况: k+len>=P

如下图:


上图中,S[p+1]之后的字符都是未知的,也就是还未进行过匹配的字符串,所以在这种情况下,就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配,直到发生失配为止,当匹配完成后,如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和po。

至此,拓展kmp算法的过程已经描述完成,细心地读者可能会发现,next数组是如何计算还没有进行说明,事实上,计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样,将它看成是以T为母串,T为字串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了,计算过程中的next数组全是已经计算过的,所以按照上述介绍的算法计算next数组即可,这里不再赘述。

2. 时间复杂度分析

下面来分析一下算法的时间复杂度,通过上面的算法介绍可以知道,对于第一种情况,无需做任何匹配即可计算出extend[i],对于第二种情况,都是从未被匹配的位置开始匹配,匹配过的位置不再匹配,也就是说对于母串的每一个位置,都只匹配了一次,所以算法总体时间复杂度是O(n)的,同时为了计算辅助数组next[i]需要先对字串T进行一次拓展kmp算法处理,所以拓展kmp算法的总体复杂度为O(n+m)的。其中n为母串的长度,m为子串的长度。

下面是拓展kmp算法的关键部分代码实现。

 
  1. const int maxn= 100010; //字符串长度最大值
  2. int next[maxn],ex[maxn]; //ex数组即为extend数组
  3. //预处理计算next数组
  4. void GETNEXT(char *str)
  5. {
  6. int i= 0,j,po,len= strlen(str);
  7. next[ 0]=len; //初始化next[0]
  8. while(str[i]==str[i+ 1]&&i+ 1<len) //计算next[1]
  9. i++;
  10. next[ 1]=i;
  11. po= 1; //初始化po的位置
  12. for(i= 2;i<len;i++)
  13. {
  14. if(next[i-po]+i<next[po]+po) //第一种情况,可以直接得到next[i]的值
  15. next[i]=next[i-po];
  16. else //第二种情况,要继续匹配才能得到next[i]的值
  17. {
  18. j=next[po]+po-i;
  19. if(j< 0)j= 0; //如果i>po+next[po],则要从头开始匹配
  20. while(i+j<len&&str[j]==str[j+i]) //计算next[i]
  21. j++;
  22. next[i]=j;
  23. po=i; //更新po的位置
  24. }
  25. }
  26. }
  27. //计算extend数组
  28. void EXKMP(char *s1,char *s2)
  29. {
  30. int i= 0,j,po,len= strlen(s1),l2= strlen(s2);
  31. GETNEXT(s2); //计算子串的next数组
  32. while(s1[i]==s2[i]&&i<l2&&i<len) //计算ex[0]
  33. i++;
  34. ex[ 0]=i;
  35. po= 0; //初始化po的位置
  36. for(i= 1;i<len;i++)
  37. {
  38. if(next[i-po]+i<ex[po]+po) //第一种情况,直接可以得到ex[i]的值
  39. ex[i]=next[i-po];
  40. else //第二种情况,要继续匹配才能得到ex[i]的值
  41. {
  42. j=ex[po]+po-i;
  43. if(j< 0)j= 0; //如果i>ex[po]+po则要从头开始匹配
  44. while(i+j<len&&j<l2&&s1[j+i]==s2[j]) //计算ex[i]
  45. j++;
  46. ex[i]=j;
  47. po=i; //更新po的位置
  48. }
  49. }
  50. }