FWT

写在前面：
FWT 变换本质是对二进制进行拆分然后分治的策略，建议与sos dp一起学习，这样对比着来看，其实本质相同。
参考博客: FWT

FWT学习

<stron>
$FWT\left(A\right)\left[i\right]=\sum _{i\mid j=j}A\left[j\right]$FWT(A)[i]=i∣j=j∑​A[j]
<stron>
$FWT\left(A\right)\left[i\right]=\sum _{i\mathrm{\&amp;}j=i}A\left[j\right]$FWT(A)[i]=i&j=i∑​A[j]
<stron>
$FWT\left(A\right)\left[i\right]=\sum _{d\left(i\mathrm{\&amp;}j\right)mod2=0}-\sum _{d\left(i\mathrm{\&amp;}j\right)mod2=1}A\left[j\right]$FWT(A)[i]=d(i&j)mod2=0∑​−d(i&j)mod2=1∑​A[j]</stron></stron></stron>

注: $d\left(i\right)$d(i)代表求 $i$i二进制表示中 $1$1的个数

FWT 用于集合卷积运算，类似FFT，但比FFT简单
$C_k=\sum _{i\oplus j=k}^{}{a}_i\ast b_i$Ck​=i⊕j=k∑​ai​∗bi​
暴力求解 $O\left(n^2\right)$O(n2)， FWT就登场了，复杂度 $O\left(nlog\right(n\left)\right)$O(nlog(n))网上讲FWT原理的满天飞，我就不再赘述了，主要看试题，如果一时半会儿看不懂原理，不妨先做看个模板题

bzoj4589: Hard Nim

Description
Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。
2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。
   不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。
   Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。
   由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

Input
输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。
对于每组数据：
共一行两个正整数n和m。
每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。
不超过80组数据。

不会NIM博弈的先看一下
题目的意思翻译一下就是找不超过m的n个质数(可重复)，异或和为零 的方案数有多少种
再看一下FWT解决的问题
$C_k=\sum _{i\oplus j=k}^{}{a}_i\ast b_i$Ck​=i⊕j=k∑​ai​∗bi​
令 $C_k$Ck​ 表示 选取两个异或和为k的方案数有多少种， $a_i$ai​ 表示是否是质数,则有
$C_k=\sum _{i\oplus j=k}^{}{a}_i\ast a_i$Ck​=i⊕j=k∑​ai​∗ai​
选取三个就是
$C_k=\sum _{i\oplus j=k}^{}{C}_i\ast a_i$Ck​=i⊕j=k∑​Ci​∗ai​
进行n次时 $C_0$C0​ 就是所求的解
所以代码就是这样子

const int    mod = 1e9 + 7;
LL qpow(LL a,LL b){LL s=1;while(b>0){if(b&1)s=s*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return s;}
const int maxn = 1e5+100;
int  a[maxn];
int  b[maxn];
void init(){
    for(int i = 2;i < maxn; ++i) a[i] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn; ++i ){
        if(a[i]){
          for(int j = i+i; j < maxn; j += i) a[j] = 0;
        }
    }
}
void FWT(int *a,int N,int opt){
    const int inv2 = qpow(2,mod-2);
    // j是区间开始点，i是区间距离，k是具***置，j+k,i+j+k就是在a数组中的坐标
    for(int i = 1;i < N; i <<= 1){
        for(int p = i<<1,j = 0;j < N; j += p){
            for(int k = 0;k < i; ++k){
                int X = a[j+k],Y = a[i+j+k];
                a[j+k] = (X+Y)%mod;
                a[i+j+k] = (X+mod-Y)%mod;
                if(opt == -1) a[j+k] = 1ll*a[j+k]*inv2%mod,
                a[i+j+k] = 1ll*a[i+j+k]*inv2%mod;
            }
        }
    }
}

int main(void)
{
          
    init();
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        me(b);
        for(int i = 0;i <= m; ++i) b[i] = a[i];
        LL t = 2;
        while( t <= m) t <<= 1;
 
        FWT(b,t,1);
        for(int i = 0;i < t; ++i) b[i] = qpow(b[i],n);
        FWT(b,t,-1);
        printf("%d\n",b[0]);
    }
    return 0;
}


模板

// 异或
void FWT(int *a,int N,int opt){
	const int inv2 = qpow(2,mod-2);
	// j是区间开始点，i是区间距离，k是具***置，j+k,i+j+k就是在a数组中的坐标
	for(int i = 1;i < N; i <<= 1){
		for(int p = i<<1,j = 0;j < N; j += p){
			for(int k = 0;k < i; ++k){
                int X = a[j+k],Y = a[i+j+k];
                a[j+k] = (X+Y)%mod;
                a[i+j+k] = (X+mod-Y)%mod;
                if(opt == -1) a[j+k] = 1ll*a[j+k]*inv2%mod,a[i+j+k] = 1ll*a[i+j+k]*inv2%mod;


			}
		}
	}
}

 或   
if(opt == 1) F[i+j+k] = (F[i+j+k]+F[j+k]) %mod;
else         F[i+j+k] = (F[i+j+k+mod-F[j+k]) %mod;
和
if(opt == 1) F[j+k] = (F[j+k]+F[i+j+k]) %mod;
else F[j+k] = (F[j+k] +mod-F[i+j+k])%mod;

FWT 例题

1 bzoj4589: Hard Nim

FWT 模板题     
参考代码

2 H

根据线性基的概念推出最多去掉log(sumxor) 个，进行一次FWT然后相乘，求IFWT判断sumxor 是否可以推出     
参考代码

3. Tree Cutting HDU - 5909

树dp+FWT加速，先无根树转化成有根树，然后dfs树dp，对于每一个根而言，下面的子树选或者不选两个状态，然后用FWT加速集合卷积       、
参考代码

4. 622C Binary Table.cpp

状态压缩 、FWT
参考代码

5. Maxor

求一组数中,两两异或的最大值，并输出方案数，做一遍FWT，然后去重 $ans=\left(a\right[i]-nu{m}_i\ast nu{m}_i-nu{m}_i\ast (nu{m}_i-1\left)\right)/2=\left(a\right[i]-nu{m}_i)/2$ans=(a[i]−numi​∗numi​−numi​∗(numi​−1))/2=(a[i]−numi​)/2
参考代码

博客历程

2018/08/21
刚刚会使用模板，然后写下了博文，诸多不足
Upd
2019/8/29：
增加了对FWT变换之后的解释公式
在这一年接触了不少关于 $FWT$FWT的题目，可以说是FWT理解的更深了，不再局限于套模板的地步，也理解了FWT变换的原理，其实FWT和FFT本质不同，FWT是二进制的艺术，FFT是信号变换的理论，FFT只是借用了一些二进制的东西，FWT相比FFT要简单的多