n_max <= 10^12

 

思路1：暴力求解每个数的约数，然后相加

时间复杂度：O(n ^ 3/2)：枚举每个数O(n)，对于每个数的分解需要O(n ^ 1/2)

 

思路2：从约数角度考虑，考虑每个可能约数的贡献

对于1，一定是任意数的约数，所以1的贡献为1*n

对于2，一定是任意偶数的约数，n中包括n/2个偶数，所以2的贡献为2*(n/2)

同理对于其他各个数也一样，最终的答案相加即可：这里的除法是向下取整

时间复杂度为O(n)

 

思路3：

来自博客：

https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

枚举i到n ^ 1/2，枚举 n/i 到n ^ 1/2，那么需要解决的问题是：枚举n/i 的时候，i的取值区间是多少，链接里有详细说明，这里最后给出思路2和思路3的代码实现

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

long long n,i,a,b;
long long sum;

int main(){
	scanf("%lld",&n);
	//sum = 0;
	//for(i=1;i<=n;i++)
	//	sum += i * (n / i);
	//printf("n = %lld\n",n);
	//printf("%lld\n",sum);
	sum = 0;
	for(i=1;i*i<=n;i++){
		sum += i * (n / i);
		b = n/i;
		a = n/(i+1)+1;
		//if (i==1) printf("%lld %lld\n",a,b);
		sum += (a+b) * (b-a+1) / 2 * i;
	}
	i--;
	if (i == n / i)
		sum -= i * (n / i);
	printf("%lld\n",sum);
	return 0;
}

 

链接后还有一个补充题：求前n个数的所有约数个数之和

分析思路一样：

考虑1的贡献为n，2的贡献为n/2，3的贡献为n/3，然后相加即可

同理的思路枚举即可