All Latin Squares

题目大意

n x n矩阵(n=2->7)

第一行1 2 3 4 5 ..N

每行每列，1-N各出现一次，求总方案数

题解

~~n最大为7 显然打表~~

写了个先数值后位置的暴搜

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "latin";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n;
int v[10][10]; // [row][col]

int vis[10][10]; // [val][col]

int anscnt =0;

void dfs(int val,int row){
  if(val > n){
    anscnt++;
    return ;
  }
  rep(j,1,n+1){
    if(v[row][j] == 0 && !vis[val][j]){
      v[row][j] = 1;
      vis[val][j] = 1;
      if(row+1 < n){
        dfs(val,row+1);
      }else{
        dfs(val+1,1);
      }
      vis[val][j] = 0;
      v[row][j] = 0;
    }
  }
}

int main(){
  //  usefile();
  cin>>n;
  rep(i,1,n+1){
    v[0][i]=i;
    vis[i][i]=1;
  }
  dfs(1,1);
  cout<<anscnt<<endl;
  return 0;
}

6能搜出来，7要等好久,考虑改算法

但是数列嘛,当然先上OEIS看看http://oeis.org/search?q=1%2C2%2C24%2C1344%2C1128960&sort=&language=english&go=Search

7的时候答案是12198297600,看来直接暴搜是不太可能

考虑一个成功的方案，把它的非首行的两行交换，也是合法的

所以考虑第一列也定为1到N,最后乘上(N-1)!

这样计算的次数是16942080

在我i7-7700HQ上跑是

> time echo 7 | ./6.5.1
12198297600

real    0m17.194s
user    0m17.190s
sys    0m0.006s

固定第一列的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "latin";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n;
int v[10][10]; // [row][col]

// [0->n-1][1->n]
int vis[10][10]; // [val][col]

long long anscnt =0;

void dfs(int val,int row){
  if(val > n){
    anscnt++;
    return ;
  }
  if(val == row+1){
    if(row+1 < n){
      dfs(val,row+1);
    }else{
      dfs(val+1,1);
    }
    return ;
  }
  rep(j,1,n+1){
    if(v[row][j] == 0 && !vis[val][j]){
      v[row][j] = 1;
      vis[val][j] = 1;
      if(row+1 < n){
        dfs(val,row+1);
      }else{
        dfs(val+1,1);
      }
      vis[val][j] = 0;
      v[row][j] = 0;
    }
  }
}

int main(){
  //  usefile();
  cin>>n;
  rep(j,1,n+1){
    v[0][j]=j;
    vis[j][j]=1;
  }
  rep(i,1,n){
    v[i][1]=i+1;
    vis[i+1][1]=1;
  }
  dfs(1,1);
  rep(i,1,n){
    anscnt*=i;
  }
  cout<<anscnt<<endl;
  return 0;
}

网上搜了一下方法，有一种是靠循环节 置换圈 大概群论相关

而我决定放弃，打表吧XD

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "latin";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n;

map<int,long long >ans;

int main(){
  usefile();
  ans[2]= 1;
  ans[3]= 2;
  ans[4]= 24;
  ans[5]= 1344;
  ans[6]= 1128960;
  ans[7]= 12198297600;
  cin>>n;
  cout<<ans[n]<<endl;
  return 0;
}

Closed Fences

题目大意

计算几何

逆时针给一系列点(<=200个),坐标范围(| |<=2^16)检查这些点是否能围成一个围栏

如果可行,再给一点输出从该点发出射线，能照到的线段 (只要部分能被照到就输出整段)

如果给的点，和一条线段共线，视作无法照到

题解

看上去像是可以枚举，按照角度，200次遍历射线，每次射线遍历200条边，一共就n方左右的复杂度

我们先过一边所有线段如果不相交，那么可以围成（这里没有判断顺时针还是逆时针）

然后枚举所有线段，对每一条线段1000等分，枚举从给定的点向等分点是否与其它线段有交点

时间复杂度O(n*n*1000);

[这题的核心还是说写计算几何的算法

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "fence4";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}


pair<int,int> p;
pair<int,int> P[210];
int N;


double cross(pair<double,double> a,pair<double,double> b){
  return a.first*b.second-a.second*b.first;
}

pair<double,double> operator + (pair<double,double> a,pair<double,double> b)  {
  return {a.first+b.first,a.second+b.second};
}

pair<double,double> operator - (pair<double,double> a,pair<double,double> b)   {
  return {a.first-b.first,a.second-b.second};
}

bool isIntersect(pair<pair<double,double>,pair<double,double>> line1,pair<pair<double,double>,pair<double,double>> line2){
  return  !(
      (cross(line1.first -line2.first,line2.second-line2.first) > 0) ==
      (cross(line1.second-line2.first,line2.second-line2.first) > 0) ||
      (cross(line2.first -line1.first,line1.second-line1.first) > 0) ==
      (cross(line2.second-line1.first,line1.second-line1.first) > 0)
      );

}

bool isValid(){
  rep(i,0,N){
    rep(j,i+2,N){
      if(i == 0 && j == N-1)continue;
      if(isIntersect({P[i],P[i+1]}, {P[j],P[(j+1)%N]})){
        return false;
      }
    }
  }
  return true;
}

// 共线
bool isColine(int idx){
  return cross(P[idx]-P[(idx+1)%N],p) == cross(P[idx],P[(idx+1)%N]);
}

bool isSeen(int idx){
  int x1 = P[idx].first;
  int y1 = P[idx].second;
  int nsegments = 1000;
  rep(i,1,nsegments){
    pair<double,double> point_ =  {
      x1 + i * 1.0 / nsegments * (P[(idx + 1) % N].first  - x1),
      y1 + i * 1.0 / nsegments * (P[(idx + 1) % N].second - y1)};
    bool blocked = false;
    rep(j,0,N){
      if(j == idx)      {
        continue;
      }
      if(isIntersect({p,point_}, {P[j],P[(j+1)%N]})){
        blocked = true;
        break;
      }
    }
    if(!blocked)    {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

vector<int> ans;
int main(){
  usefile();
  scanf("%d", &N);
  scanf("%d %d", &p.first,&p.second);
  rep(i,0,N){
    scanf( "%d %d", &P[i].first, &P[i].second);
  }
  if(!isValid())  {
    printf( "NOFENCE\n");
    return 0;
  }
  rep(i,0,N){
    if(!isColine(i) && isSeen(i))    {
      ans.push_back(i);
    }
  }
  if(ans.size() >= 2 && ans[ans.size() - 2] == N - 2){
    ans[ans.size() - 2] = N - 1;
    ans[ans.size() - 1] = N - 2;
  }
  printf("%d\n", int(ans.size()));
  rep(i,0,ans.size()){
    if(ans[i] == N - 1)    {
      printf("%d %d %d %d\n", P[0].first, P[0].second, P[ans[i]].first, P[ans[i]].second);
    }else{
      printf( "%d %d %d %d\n", P[ans[i]].first, P[ans[i]].second, P[ans[i] + 1].first, P[ans[i] + 1].second);
    }
  }
  return 0;
}

Betsy's Tour

题目大意

n x n(n<=7) 的矩阵，从左上走到坐下，每个格子最多经过一次的方案数

题解

~~暴搜+打表~~

插头dp ? 像是

实现了一下果然过了，注意处理n = 1

插头dp的话直接百度文库应该能搜到不少文章，我感觉我的边界处理和状态转移的代码写得好丑QAQ

这里的一个技巧是，想象在左边在多出一列，把这列从上连到下，这样原题就变成确定了一部分路线的欧拉回路的插头dp了,这样起始和终点的就也和中间的过程块，看作联通其它两个块的来处理了
状态表示，最无脑的是，相同数字，但是这样的话状态转移会比较难写比如100120332，注意到我们会一直维持合法性,所以可以用左右括号表示(__)(_()),这样的化就是3进制即可，然后4进制更容易操作，比如我下面用的位运算<<2 或 >>2
在上面两个优化下初始状态是(______)这样的

时间复杂度O(i*j*state) = O(7*7*3^7)

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "betsy";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n;

// 中间的 每个块 连接 两个方向，

map<pair<int,long long>,long long> res;

int get_state(long long state,int pos){
  return (state >> (2*pos)) % 4;
}

int set_state(long long state,int pos){
  return state << (2*pos);
}

// ((    ) ())
// block: 的2进制位 0b3210
//   3
//  0 2
//   1
long long insert_state(long long old_state,int pos,int block){
  int arr[10];
  // 栈计算括号对
  int p[10];
  int stk[10];
  int stki = 0;
  rep(i,0,n+1){
    arr[i] = get_state(old_state,i);
    if(arr[i] == 0)continue;
    if(arr[i] == 1)stk[stki++]=i;
    if(arr[i] == 2){
      p[i] = stk[stki-1];
      p[stk[stki-1]] = i;
      stki--;
    }
  }
  int cnt = 0;
  rep(i,0,4){
    cnt+= !!(block & (1<<i));
  }
  assert(cnt == 2);
  // 插入的块和 被插入的位置 同时有或没有
  if( (!(block & 0b1000) != !arr[pos]) || (!(block & 0b0001) != !arr[pos+1]) ){
    return -1;
  }
  // 原来为空 新建边
  if( (block & 0b0100) && (block & 0b0010)){
    arr[pos] = 1;
    arr[pos+1] = 2;
  }else if( (block & 0b0100) || (block & 0b0010) ){ // 引出一条原来的边
    if(block & 0b0100){
      arr[pos] = arr[pos]+arr[pos+1];
      arr[pos+1] = 0;
    }else {
      arr[pos+1] = arr[pos]+arr[pos+1];
      arr[pos] = 0;
    }
  }else{ // 把原来两段 连接起来
    if(arr[pos] == 1 &&  arr[pos+1] == 2){
      arr[pos] = 0 ;
      arr[pos+1] = 0 ;
    }else{
      arr[pos] = 0;
      arr[pos+1] = 0;
      int p1 = p[pos];
      int p2 = p[pos+1];
      if(p1 > p2)swap(p1,p2);
      arr[p1] = 1;
      arr[p2] = 2;
    }
  }
  long long new_state = 0;
  rep(i,0,n+1){
    new_state += set_state(arr[i],i);
  }
  return new_state;
}

long long dp(int idxi,int idxj,long long state){
  long long &ret = res[{(idxi<<3)+idxj,state}];
  if(ret != 0){
    return ret;
  }
    // 右下角允许自连
  if(idxj == n-1 && idxi == n-1) {
    return ret = (get_state(state,n-1) == 1 && get_state(state,n) == 2);
  }
  // 过程中不允许自连
  //
  if (get_state(state,idxi) == 1 && get_state(state,idxi+1) == 2)return 0;
  rep(i,0,4){
    rep(j,i+1,4){
      int new_state = insert_state(state,idxi,(1<<i)+(1<<j));
      if(new_state == -1)continue;
      // 最后一列
      if(idxj == n-1) {
        if(get_state(new_state,idxi) != 0)continue;
      }
      // 最后一行
      if(idxi == n-1){
        if(get_state(new_state,idxi+1) != 0)continue;
        new_state <<=2;
        ret+=dp(0,idxj+1,new_state);
      }else{
        ret+=dp(idxi+1,idxj,new_state);
      }
    }
  }
  // printf("(%d,%d) {%lld,%lld,%lld} = %lld\n",idxi,idxj,(state)%4,(state>>2)%4,(state>>4)%4,ret);
  return ret;
}

int main(){
  usefile();
  cin>>n;
  if(n == 1){
    cout<<1<<endl;
  }else{
    cout<<dp(0,0,set_state(1,1)+set_state(2,n))<<endl;
  }
  return 0;
}

总结

6.5章其实有5个题,但后面两题我很久很久很就以前做了就不想再做一次了，所以这里只写了3题

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我的 cnblogs: https://www.cnblogs.com/CroMarmot/p/11149313.html

我的 github: https://yexiaorain.github.io/Blog/2019-07-07-USACO-6.5/

USACO 6.5 世界上本没有龙 屠龙的人多了也便有了

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