题解 | #构造C的歪#

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题目描述

给定两个整数 $a$ 和 $b$ ，需要找到第三个整数 $c$ ，使得这三个数排序后能构成一个等差数列。输出任意一个满足条件的 $c$ 即可。

解题思路

等差数列的核心性质是中间项是首末两项的平均值。换句话说，如果排序后的三个数为 $x_1, x_2, x_3$ ，那么必须满足 $x_2 - x_1 = x_3 - x_2$ ，即 $2x_2 = x_1 + x_3$ 。

我们设给定的两个数为 $a$ 和 $b$ ，要找的数为 $c$ 。不失一般性，我们先对 $a$ 和 $b$ 进行排序，得到 $x = \min(a, b)$ 和 $y = \max(a, b)$ 。现在我们有两个数 $x$ 和 $y$ ，需要找到第三个数 $z$ 使得它们能构成等差数列。有以下三种可能的情况：

$y$ 是中间项：数列为 $x, y, z$ 。此时公差为 $d = y - x$ ，那么第三个数 $z = y + d = y + (y - x) = 2y - x$ 。
$x$ 是中间项：数列为 $z, x, y$ 。此时公差为 $d = y - x$ ，那么第一个数 $z = x - d = x - (y - x) = 2x - y$ 。
$z$ 是中间项：数列为 $x, z, y$ 。此时 $2z = x + y$ 。这种情况只有当 $x+y$ 是偶数时，才能找到整数解 $z = (x+y)/2$ 。

由于题目要求我们输出任意一个解决方案即可，最简单的做法是选择第一种或第二种情况，因为它们总是能构造出整数解，无需判断奇偶性。

例如，我们可以选择第一种情况：计算出 $a$ 和 $b$ 中的较大值和较小值，然后根据公差构造出第三个数。

代码

c++
java
python

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    long long a, b;
    cin >> a >> b;
    long long x = min(a, b);
    long long y = max(a, b);
    cout << 2 * y - x << "\n";
    return 0;
}

import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long a = sc.nextLong();
        long b = sc.nextLong();
        long x = Math.min(a, b);
        long y = Math.max(a, b);
        System.out.println(2 * y - x);
    }
}

a, b = map(int, input().split())
x = min(a, b)
y = max(a, b)
print(2 * y - x)

算法及复杂度

算法：数学
时间复杂度： $\mathcal{O}(1)$ ，仅涉及几次基本的算术运算和比较。
空间复杂度： $\mathcal{O}(1)$ ，只使用了常数个变量。