第九章

二元运算及其性质

定义：设 $S$ 为集合，函数 $f:S\times S \rightarrow S$ 称为 $S$ 上的二元运算
定义：设 $S$ 为集合，函数 $f:S\rightarrow S$ 称为 $S$ 上的一元运算

如何验证一个二元运算

$S$ 中任意的元素都能运算
$S$ 中任意两个元素运算的结果是唯一的
$S$ 中任意两个元素运算的结果仍是属于 $S$ 的

二元和一元运算的表示

解析式法和运算表

一些性质

定义9.3设 $\circ$ 为 $S$ 上的二元运算，
(1)若对任意 $x,yS$ 有 $x \circ y=y \circ x$ ,则称运算在S上满足交换律.
(2)若对任意 $x,y,z∈S$ 有 $(x \circ y)\circ z=x \circ (y \circ z)$ ,则称运算在S上满足结合律.
(3)若对任意 $x∈S$ 有 $x \circ x=x$ ,则称运算在S上满足幂等律.

定义9.4设 $\circ$ 和 $*$ 为S上两个不同的二元运算，
(1)若对任意 $x,y,z∈S$ 有 $(x*y)\circ z=(x \circ z)*(y \circ z)$ , $z\circ (x*y)=(z\circ x)*(z\circ y)$ ,则称 $\circ$ 运算对 $*$ 运算满足分配律.
(2)若 $\circ$ 和 $*$ 都可交换,且对任意 $x,y∈S$ 有 $x \circ (x*y)=x，x*(x \circ y)=x$ ,则称 $\circ$ 和*运算满足吸收律.

定义: 设 $\circ$ 为 $S$ 上的二元运算，
(1)如果存在 $e_{l}(或e_{r})∈S$ ，使得对任意 $x∈S$ 都有 $e_{l}\circ x=x(或x \circ e_{r}=x),$ 则称 $e_{l}(或e_{r})$ 是 $S$ 中关于 $\circ$ 运算的左(或右)单位元.
若 $e∈s$ 关于。运算既是左单位元又是右单位元，则称 $e$ 为 $S$ 上关于 $\circ$ 运算的单位元.单位元也叫做幺元.

(2)如果存在 $\theta_{l}(或\theta_{r})∈S$ ，使得对任意 $x∈S$ 都有 $\theta_{l} \circ x= \theta_{l}， (或x\circ \theta_{r}= \theta_{l})$ ,则称 $\theta_{l}(或\theta_{r})$ 是 $S$ 中关于 $\circ$ 运算的左(或右)零元.
若 $\theta ∈S$ 关于 $\circ$ 运算既是左零元又是右零元，则称 $\theta$ 为 $S$ 上关于运算 $\circ$ 的零元.

逆元同理

唯一性定理

当一个二元运算同时存在左单位元和右单位元（零元或逆元）时，左右单位元（零元，逆元）相等

代数系统

定义：非空集合 $S$ 和 $S$ 上 $k$ 个一元或二元运算 $f_{1},f_{2},...,f_{k}$ 组成的系统称为代数系统,简称代数，记做 $<S,f_{1},f_{2},...,f_{k}>$ .

构成代数系统的成分:
集合（也叫载体，规定了参与运算的元素)
运算（这里只讨论有限个二元和一元运算)
代数常数（通常是与运算相关的特异元素:如单位元等)

同种和同类型的代数系统

(1)如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统.
(2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统.

子代数系统

定义：设 $V=<S,f_{1},f_{2},...,f_{k}>$ 是代数系统， $B$ 是 $S$ 的非空子集，如果 $B$ 对 $f_{1},f_{2},...,f_{k}$ 都是封闭的，且 $B$ 和 $S$ 含有相同的代数常数，则称 $<B,f_{1},f_{2},...,f_{k}>$ 是V的子代数系统，简称子代数.有时将子代数系统简记为 $B$ .

相关术语
()最大的子代数:就是 $V$ 本身
(2)最小的子代数:如果令 $V$ 中所有代数常数构成的集合是 $B$ ，且 $B$ 对 $V$ 中所有的运算都是封闭的，则 $B$ 就构成了 $V$ 的最小的子代数
(3)最大和最小的子代数称为 $V$ 的平凡的子代数
(4)若B是S的真子集，则 $B$ 构成的子代数称为 $V$ 的真子代数.

积代数

定义: 设 $V_{1}=<A,\circ>$ 和 $V_{2}=<B,*>$ 是同类型的代数系统， $\circ$
和 $*$ 为二元运算，在集合 $A\times B$ 上如下定义二元运算 $\bullet,\forall <a_{1},b_{1}>,<a_{2},b_{2}>\in A\times B$ ，有 $<a_{1},b_{1}>\bullet<a_{2},b_{2}>=<a_{1}\circ a_{2}, b_{1}*b_{2}>$
称 $V=<A\times B,\bullet>$ 为与 $V$ 的积代数，记作 $V_{1}\times V_{2}$ 这时也称 $V_{1} 和V_{2}$ ,为 $V$ 的因子代数.

代数系统的同态和同构

定义：设 $V_{1}=<A,\circ>$ 和 $V_{2}=<B,*>$ 是同类型的代数系统，f:.A→>B，且Vx,yeA有fxo y)=f(x)*fy),则称f是V到V的同态映射，简称同态.
同态分类:
(1)f如果是单射，则称为单同态
(2)如果是满射，则称为满同态，这时称V,是V的同态像，记作V~V2
(3)如果是双射，则称为同构，也称代数系统V同构于V,
记作VNV,
(4)如果V=V，则称作自同态

第十章

群的定义与性质

定义

(1)设 $V=<S,\circ>$ 是代数系统， $\circ$ 为二元运算，如果 $\circ$ 运算是可结合的，则称 $V$ 为半群.
(2)设 $V=<S,\circ>$ 是半群，若 $e\in S$ 是关于 $\circ$ 运算的单位元，则称 $V$ 是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点 $V$ 记作 $V=<S,\circ,e>$ .
(3 设 $V=<S,\circ>$ 是独异点， $e∈S$ 关于 $\circ$ 运算的单位元，若 $\forall a\in S,a^{-1}\in S$ ，则称 $V$ 是群.通常将群记作 $G$ .

群的相关术语

(1)若群 $G$ 是有穷集，则称 $G$ 是有限群，否则称为无限群.群 $G$ 的基数称为群 $G$ 的阶，有限群 $G$ 的阶记作 $|G|$ .
(2)只含单位元的群称为平凡群.
(3)若群 $G$ 中的二元运算是可交换的，则称 $G$ 为交换群或阿贝尔(Abel)群.

群中元素的各次幂

设 $G$ 是群， $a\in G, n\in Z$ 则 $a$ 的 $n$ 次幂

$a^{n}=e…………n=0$
$a^{n}=a^{n-1}…………n>0$
$a^{n}=(a^{-1})^{m}…………n<0,n=-m$

群中元素的阶

定义
设 $G$ 是群， $a\in G$ ，使得等式 $a^{k}=e$ 成立的最小正整数 $k$ 称为 $a$ 的阶，记作 $|a|=k$ ，称 $a$ 为 $k$ 阶元.若不存在这样的正整数 $k$ ，则称 $α$ 为无限阶元.

群中幂运算规则

设 $G$ 为群，则 $G$ 中的幂运算满足:
(1) $\forall a\in G，(a^{-1})^{-1}=a$
(2) $\forall a,b\in G，(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
(3) $\forall a\in G, a^{n}a^{m}=a^{n+m}, n,m\in Z$
(4) $\forall a\in G，(a^{n})^{m}=a^{nm}, n,m\in Z$
(5)若 $G$ 为交换群，则 $(ab)^{n} = a^{n}b^{m}$ .

性质

(1) $G$ 为群, $\forall a,b\in G$ ，方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 在 $G$ 中有解且仅有惟一解.
(2) $G$ 为群，则 $G$ 中适合消去律，即对 $\forall a,b,c\in G$ 有
1.若 $ab =ac，则b=c$ .
2.若 $ba = ca，则b=c$ .
(3) $G$ 为群， $a∈G$ 且 $|a|= r$ .设 $k$ 是整数，则
1. $a^{k}= e$ 当且仅当 $r |k$
2. $|a^{-1}|=|a|$

子群与群的陪集分解

定义：设 $G$ 是群， $H$ 是 $G$ 的非空子集，
(1)如果 $H$ 关于 $G$ 中的运算构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群,记作 $H≤G$ .
(2)若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $H\subset G$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H<G$ .

对任何群 $G$ 都存在子群. $G$ 和{e}都是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的平凡子群.

子群判定定理

设 $G$ 为群， $H$ 是 $G$ 的非空子集，则 $H$ 是 $G$ 的子群当且仅当
(1) $\forall a,b\in H$ 有 $ab\in H$
(2) $\forall a\in H有a^{-1}\in H$ .
设 $G$ 为群， $H$ 是 $G$ 的非空子集. $H$ 是 $G$ 的子群当且仅当 $\forall a,b\in H 有a b^{-1}\in H$ .
设 $G$ 为群， $H$ 是 $G$ 的非空有穷子集，则 $H$ 是 $G$ 的子群当且仅当 $\forall a,b\in H有ab\in H$ .

生成子群

设 $G$ 为群， $a\in G$ ，令 $H= \left\{ a^{k}|k\in Z \right\}$ , 则 $H$ 是 $G$ 的子群，称为由 $a$ 生成的子群，记作 $<a>$ .

中心

设 $C$ 为群,令 $C=\left\{ a|a\in G\wedge \forall x\in G(ax=xa)\right\}$ ,
则 $C$ 是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的中心.

子群的交

设G是群，H,K是G的子群.
(1) $H\cap K$ 也是G的子群
(2) $H\cup K$ 是G的子群当且仅当 $H\subseteq K$ 或 $K\subseteq H$

子群格

设G为群,令L(G)={H |H是G的子群}则偏序集<L(G),∈>称为G的子群格

陪集定义

定义10.9设H是G的子群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.
类似的可以定义左陪集

拉格朗日(Lagrange）定理

设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|·[G:H]
其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)数，称为H在G中的指数.

推论1

设G是n阶群，则 $\forall a\in G$ ，|a|是n的因子，且有 $a^{n}= e$ .

证任取a∈G， $<a>$ 是G的子群， $<a>$ 的阶是n的因子. $<a>$ 是由a生成的子群，若|a|=r，则 $<a>=\left\{a^{0}=e,a^{1},a^{1}....a^{r-1}\right\}$
即 $<a>$ 的阶与|a|相等,所以a是n的因子．从而 $a^{n} =e$ .

推论2

对阶为素数的群G，必存在a∈G使得 $G=<a>$ .

证设|G|=p，p是素数.由p≥2 知 G中必存在非单位元.任取a∈G，a≠ e，则 $<a>$ 是G的子群.根据拉格朗日定理， $<a>$ 的阶是p的因子，即 $<a>$ 的阶是p或1.显然 $<a>$ 的阶不是1，这就推出 $G=<a>$ .

循环群与置换群

定义: 设G是群，若存在a∈G使得 $G=\left\{a^{k}| k\in Z\right\}$ 则称G是循环群，记作 $G=<a>$ ，称a为G的生成元.

循环群的分类:n阶循环群和无限循环群.
设 $G=<a>$ 是循环群，若a是n阶元，则 $G=\left\{a^{0}=e,a^{1},a^{1}....a^{r-1}\right\}$ 那么|G|=n，称G为n阶循环群.
若a是无限阶元，则 $G= \left\{ a^{0}=e, a^{±1}, a^{±2},... \right\}$ 称G为无限循环群.

定理: 设 $G=<a>$ 是循环群.
(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和 $a^{-1}$ .
(2)若G是n阶循环群，则G含有 $\phi(n)$ 个生成元.对于任何小于n且与n互质的数re{0,1,.,n-1}, $a^{r}$ 是G的生成元.

循环群的子群

设 $G=<a>$ 是循环群.
(1)设 $G=<a>$ 是循环群，则G的子群仍是循环群.
(2)若 $G=<a>$ 是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.
(3)若 $G=<a>$ 是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群.

n元置换与乘法

定义：设S={1,2,..., n},S上的任何双射函数 $\sigma:S→S$ 称为S上的n元置换.

n元置换的轮换表示

设S={1,2,..., n}，对于任何S上的n元置换 $\sigma$ ,存在着一个有限序列 $i_{1}, i_{2},..., i_{k}$ , k≥1, (可以取 $i_{1}$ ,=1)使得 $\sigma(i_{1})=i_{2}, \sigma(i_{2})=i_{3},.., \sigma(i_{k-1})=i_{1}$
令 $\sigma=(i_{1}, i_{2},..., i_{k})$ ,是 $\sigma$ 分解的第一个轮换.将 $\sigma$ ,写作 $\sigma_{1}\sigma^{'}$ ,继续对 $\sigma^{'}$ 分解.由于S只有n个元素,经过有限步得到 $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}...\sigma_{t}$

轮换分解式的特征
1.轮换的不交性
2.分解的惟一性:若 $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}...\sigma_{t}$ $\sigma=\tau_{1}\tau_{2}...\tau_{t}$ 是 $\sigma$ 的两个轮换表示式，则有 $\left\{ \sigma_{1}\sigma_{2}...\sigma_{t} \right\}=\left\{ \tau_{1}\tau_{2}...\tau_{t} \right\}$

设S={1,2...n}， $\sigma=(i_{1}, i_{2},..., i_{k})$ 是S上的k阶轮换， $\sigma$ 可以进一步表成对换之积，即 $\left( i_{1}i_{2}...i_{k} \right)=\left( i_{1}i_{2}\right)\left( i_{1}i_{3}\right)=\left( i_{1}i_{k}\right)$
任何n元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积.

对换分解的特征

对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一.
表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的.
如果n元置换 $\sigma$ 可以表示成奇数个对换之积，则称 $\sigma$ 为奇置换，否则称为偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有 $n!/2$ 个.

n元置换群

所有的n元置换构成的集合S,关于置换乘法构成群，称为n元对称群. n元对称群的子群称为n元置换群.

九、十章笔记

第九章