题意整理

  • 给定一个整数n和一个整数k,将n分成k份。
  • 每份不能为空,问有多少种分法(组合相同,排列不同的算同一种分法)。

方法一(暴力递归)

1.解题思路

  • 递归终止条件:已经分了k份。
  • 递归如何推进:份数加一,剩余的数字rest要减去已经分配的,而use是当前尝试分配的(只要小于rest,都可以尝试)。

2.代码实现

import java.util.*;

public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param n int 被划分的数
     * @param k int 化成k份
     * @return int
     */
    //k表示总划分份数,cnt记录几种分法
    int k;
    int cnt;
    int mod=1000000007;

    public int divideNumber (int n, int k) {
        // 初始化k和cnt
        this.k=k;
        this.cnt=0;
        //开始递归
        dfs(0,n,1);

        return cnt;
    }

    private void dfs(int depth,int rest,int use){
        //如果达到k份,递归终止
        if(depth==k){
            //如果此时刚好剩余为0,记录的分法加一
            if(rest==0){
                cnt=(cnt+1)%mod;
            }
            return;
        }
        //如果能继续划分,份数加一,rest减去已经分配的,use是每一次尝试划分多少
        for(int i=use;i<=rest;i++){
            dfs(depth+1,rest-i,i);
        }
    }

}

3.复杂度分析

  • 时间复杂度:假设不算重复的情况,把数字n分成k份,相当于在n-1个空中,插入k-1个分隔符,总共有图片说明 种方案,所以时间复杂度是图片说明
  • 空间复杂度:需要额外深度为k的递归栈,所以空间复杂度为图片说明

方法二(动态规划)

1.解题思路

  • 状态定义:图片说明 表示数字i分为j份总共有多少种分法。
  • 状态初始化:数字0划分为0份总共有1种分法,所以图片说明 为1。
  • 状态转移:根据每份不能为空,我们可以将划分的情况分为两种,一种是至少有一份分配了数字1,另外一种是,所有的份数都没有分配数字1(如果没有分配数字1,必然分配了大于1的数字)。于是,如果至少分配了一份是数字1,那么剩下的分法就是图片说明 ,即将数字i-1分为j-1份;如果没有分配数字1,那么我们一定可以给j份都提前放一个数字1,剩下的就是图片说明 ,即将数字i-j分为j份。所以状态转移方程是:图片说明

动图展示:
图片说明

2.代码实现

import java.util.*;

public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param n int 被划分的数
     * @param k int 化成k份
     * @return int
     */

    public int divideNumber (int n, int k) {
        // 初始化dp数组,赋初值
        int[][] dp=new int[n+1][k+1];
        dp[0][0]=1;
        int mod=1000000007;

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=k;j++){
                //由于每份不能为空,所以划分数肯定大于总份数
                if(i>=j){
                    //分为至少存在一份是1,和所有份数大于1两种情况
                    dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j])%mod;
                }                
            }    
        }
        return dp[n][k];
    }


}

3.复杂度分析

  • 时间复杂度:总共两层循环,最多遍历图片说明 次,所以时间复杂度是图片说明
  • 空间复杂度:需要额外大小为图片说明的dp数组,所以空间复杂度为图片说明