题解 | #数的划分#

题意整理

• 给定一个整数n和一个整数k，将n分成k份。
• 每份不能为空，问有多少种分法（组合相同，排列不同的算同一种分法）。

方法一（暴力递归）

1.解题思路

• 递归终止条件：已经分了k份。
• 递归如何推进：份数加一，剩余的数字rest要减去已经分配的，而use是当前尝试分配的（只要小于rest，都可以尝试）。

2.代码实现

import java.util.*;

public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param n int 被划分的数
     * @param k int 化成k份
     * @return int
     */
    //k表示总划分份数，cnt记录几种分法
    int k;
    int cnt;
    int mod=1000000007;

    public int divideNumber (int n, int k) {
        // 初始化k和cnt
        this.k=k;
        this.cnt=0;
        //开始递归
        dfs(0,n,1);

        return cnt;
    }

    private void dfs(int depth,int rest,int use){
        //如果达到k份，递归终止
        if(depth==k){
            //如果此时刚好剩余为0，记录的分法加一
            if(rest==0){
                cnt=(cnt+1)%mod;
            }
            return;
        }
        //如果能继续划分，份数加一，rest减去已经分配的，use是每一次尝试划分多少
        for(int i=use;i<=rest;i++){
            dfs(depth+1,rest-i,i);
        }
    }

}

3.复杂度分析

• 时间复杂度：假设不算重复的情况，把数字n分成k份，相当于在n-1个空中，插入k-1个分隔符，总共有 种方案，所以时间复杂度是 。
• 空间复杂度：需要额外深度为k的递归栈，所以空间复杂度为 。

方法二（动态规划）

1.解题思路

• 状态定义： 表示数字i分为j份总共有多少种分法。
• 状态初始化：数字0划分为0份总共有1种分法，所以 为1。
• 状态转移：根据每份不能为空，我们可以将划分的情况分为两种，一种是至少有一份分配了数字1，另外一种是，所有的份数都没有分配数字1（如果没有分配数字1，必然分配了大于1的数字）。于是，如果至少分配了一份是数字1，那么剩下的分法就是 ，即将数字i-1分为j-1份；如果没有分配数字1，那么我们一定可以给j份都提前放一个数字1，剩下的就是 ，即将数字i-j分为j份。所以状态转移方程是： 。

动图展示：

2.代码实现

import java.util.*;

public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param n int 被划分的数
     * @param k int 化成k份
     * @return int
     */

    public int divideNumber (int n, int k) {
        // 初始化dp数组，赋初值
        int[][] dp=new int[n+1][k+1];
        dp[0][0]=1;
        int mod=1000000007;

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=k;j++){
                //由于每份不能为空，所以划分数肯定大于总份数
                if(i>=j){
                    //分为至少存在一份是1，和所有份数大于1两种情况
                    dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j])%mod;
                }                
            }    
        }
        return dp[n][k];
    }


}

3.复杂度分析

• 时间复杂度：总共两层循环，最多遍历 次，所以时间复杂度是 。
• 空间复杂度：需要额外大小为的dp数组，所以空间复杂度为 。