【2019上海网络赛：K】Peekaboo（勾股数知c求a和b--数论）

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题目

ABC三点，其中A是坐标原点，|AB|=a, |AC|=b,|BC|=c，求B、C在网格的可能坐标（横纵坐标都是整数），按字典序从小到大输出。

解题思路

问题转化为圆1: $x^2+y^2=a^2$x2+y2=a2,圆2: $x^2+y^2=b^2$x2+y2=b2，在两圆在各取一点（横纵坐标都为整数，下同），使得这两点之间的距离是c。只要能求出圆上的所有整点，题目基本上就解决了。
求圆上整点数目裸题：BZOJ1041,在这里我想自己推一下解法，加深印象。
推导过程：
$x^2+y^2=r^2$x2+y2=r2即 $x^2=r^2-y^2=(r-y)(r+y)=dA\ast dB=d^{2}AB$x2=r2−y2=(r−y)(r+y)=dA∗dB=d2AB其中 $d=gcd\left(\right(r-y),(r+y\left)\right),dA=(r-y),dB=(r+y)$d=gcd((r−y),(r+y)),dA=(r−y),dB=(r+y)
可知 $A、B$A、B互质，可得 $(r-y)+(r+y)=2r=d(A+B)$(r−y)+(r+y)=2r=d(A+B)
这里只考虑圆上的整点 $(x,y)$(x,y)在第一象限内且不在坐标轴上。 $y\ne 0$y̸​=0,所以 $(r-y)\ne (r+y)$(r−y)̸​=(r+y)等价于 $A\ne B$A̸​=B
由 $x^2=d^{2}AB$x2=d2AB且 $A、B$A、B互质可推出 $A、B$A、B都是完全平方数，令 $a^2=A,b^2=B$a2=A,b2=B得 $a^2+b^2=A+B=m$a2+b2=A+B=m, 式子变为 $x^2=dm其中m=a^2+b^2$x2=dm其中m=a2+b2
最终我们推得的有效式子为：

• $2r=d(A+B)=dm$2r=d(A+B)=dm
• $x^2=dm，其中m=A+B=a^2+b^2，且A\ne B$x2=dm，其中m=A+B=a2+b2，且A̸​=B
• $dA=(r-y)\Rightarrow y=r-dA\Rightarrow y=r-d{a}^2，x=\sqrt{r^2-y^2}$dA=(r−y)⇒y=r−dA⇒y=r−da2，x=r2−y2 ​
  求解方法：根据第一个式子枚举d，算得m, 同理内层根据第二个式子中的 $a^2+b^2=m$a2+b2=m枚举a，算的b，判断a,b是否满足都是整数且 $a^2\ne b^2$a2̸​=b2，满足的话根据第三个式子推得y、x。

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node{
    ll x, y;
    friend bool operator < (node a, node b)
    {
        return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;
    }
};
struct Line{
    ll x1, y1, x2, y2;
};
vector<Line> ans;
vector<node> f, s;
ll r1, r2, c;
ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
bool check(ll a, double b)
{
    ll bb = b;
    if(bb == b)//b是整数
    {
        if(gcd(a*a, bb*bb) == 1 && a*a != bb*bb)
            return true;
    }
    return false;
}
void getPoints(ll r, vector<node> &s)
{
    for(ll d = 1; d <= (ll)sqrt(2*r); d++)//只枚举一半，d<=m
    {
        if((2*r)%d == 0)
        {
            ll m = (2*r) / d;// d*m=2*r
            for(ll a = 1; a <= (ll)sqrt(m/2.0); a++)
            {
                double b = sqrt(m-a*a);
                if(check(a, b))
                {
                    ll y = r - a*a*d;
                    ll x = (ll)sqrt(r*r - y*y);
                    s.push_back({x, y});
                    s.push_back({x, -y});
                    s.push_back({-x, y});
                    s.push_back({-x, -y});
                }
            }
            if(d != (2*r)/d)//m和d不等大，否则就重复了
            {
                m = d;//处理d>m的部分，此时d和m值互换，d = 2*r / d;
                ll dd = 2*r / d;
                for(ll a = 1; a <= (ll)sqrt(m/2.0); a++)
                {
                    double b = sqrt(m-a*a);
                    if(check(a, b))
                    {
                        ll y = r - a*a*dd;
                        ll x = (ll)sqrt(r*r - y*y);
                        s.push_back({x, y});
                        s.push_back({x, -y});
                        s.push_back({-x, y});
                        s.push_back({-x, -y});
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        f.clear();s.clear();ans.clear();
        scanf("%lld %lld %lld", &r1, &r2, &c);
        f.push_back({0,r1});f.push_back({0,-r1});f.push_back({r1,0});f.push_back({-r1,0});
        s.push_back({0,r2});s.push_back({0,-r2});s.push_back({r2,0});s.push_back({-r2,0});
        getPoints(r1, f);
        getPoints(r2, s);
        sort(f.begin(), f.end());
        sort(s.begin(), s.end());
        for(int i = 0; i < f.size(); i++)
        {
            for(int j = 0; j < s.size(); j++)
            {
                ll dis = (f[i].x - s[j].x)*(f[i].x-s[j].x) + (f[i].y-s[j].y)*(f[i].y-s[j].y);
                if(dis == c*c)
                    ans.push_back({f[i].x,f[i].y,s[j].x,s[j].y});
            }
        }
        printf("%d\n",ans.size());
        for(int i = 0; i < ans.size(); i++)
            printf("%lld %lld %lld %lld\n", ans[i].x1, ans[i].y1, ans[i].x2, ans[i].y2);
    }
    return 0;
}