REAL688 小红的函数最大值

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小红的函数最大值

题目描述

给定函数 ，其中 为正整数，定义域为 。

输入参数范围：

求该函数在定义域上的最大值。

解题思路

这是一个经典的函数求最值问题，可以通过微积分来解决。

  1. 函数与定义域

    函数为 。对数函数的定义域要求 。为了方便求导，我们使用换底公式将 转换为以自然对数 为底：

  2. 求导以寻找极值点

    为了找到函数的最大值，我们首先需要找到其导数 ，并令其等于零，以确定函数的驻点（critical points）。

    令 ，解出 ：

    这是函数唯一的驻点。

  3. 判断极值类型（二阶导数法）

    为了确定这个驻点是极大值点还是极小值点，我们求解二阶导数 ：

    由于 ，所以 。在定义域 内， 也恒为正。因此， 恒小于 0。

    二阶导数恒为负，说明函数是严格的凹函数（concave down），因此我们找到的唯一驻点必定是函数的全局最大值点。

  4. 计算最大值

    将取得最大值时的 代入原函数 ：

    代码实现时，直接根据这个公式计算即可。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>

// C++ Solution
void solve() {
    double a, b;
    std::cin >> a >> b;

    // 根据公式直接计算
    // f_max = -(log(b) + log(log(a)) + 1) / log(a)
    // C++ 中 log() 就是自然对数 ln()
    
    double log_a = std::log(a);
    double result = -(std::log(b) + std::log(log_a) + 1.0) / log_a;
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(10) << result << std::endl;
}

int main() {
    solve();
    return 0;
}

import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;

// Java Solution
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        double a = sc.nextDouble();
        double b = sc.nextDouble();

        // 根据公式直接计算
        // f_max = -(Math.log(b) + Math.log(Math.log(a)) + 1) / Math.log(a)
        // Java 中 Math.log() 就是自然对数 ln()

        double logA = Math.log(a);
        double result = -(Math.log(b) + Math.log(logA) + 1.0) / logA;
        
        System.out.printf("%.10f\n", result);
    }
}

import math

# Python Solution
def solve():
    try:
        a, b = map(int, input().split())
        
        # 根据公式直接计算
        # f_max = -(math.log(b) + math.log(math.log(a)) + 1) / math.log(a)
        # Python 中 math.log() 就是自然对数 ln()

        log_a = math.log(a)
        result = -(math.log(b) + math.log(log_a) + 1.0) / log_a
        
        print(f"{result:.10f}")

    except (ValueError, EOFError):
        pass

if __name__ == "__main__":
    solve()

算法及复杂度

  • 算法：数学/微积分

  • 时间复杂度：。

    • 代码只涉及几次对数函数调用和基本的算术运算，其时间复杂度为常数。

  • 空间复杂度：。

    • 只需要常数级别的额外空间存储输入和中间变量。