上机之数学问题

声明：该页面知识来源：《天勤计算机考研》，此处只是做学后总结。

最大公约数与最小公倍数

求最大公约数需要 欧几里得算法 （辗转相除法）
c为a和b的最大公约数，则a和b的最小公倍数为a*b/c 。

gcd(a,b)=gcd(b,a%d)

当第二个参数为0时，第一个参数就是最大公约数啦！

例题

题目描述：输入两个正整数，求其最大公约数。
code：

#include<iostream>
using namespace std;
int getGcd(int a,int b)
{
   
	if(b==0)
		return a;
	else
		return getGcd(b,a%b);
}
int main()
{
   
	int m,n;
	while(cin >> m >> n)
	{
   
		int gcd=getGcd(m,n);
		cout << gcd << endl;
	}
	return 0;
}

分数的四则运算

例题

#include<iostream>
using namespace std;
struct Fraction
{
   
	long long up,down;
}
long long getGcd(long long a,long long b)
{
   
	if(b==0)
		return a;
	else
		return getGcd(b,a%b);
}
Fraction reduction(Fraction result)//化简
{
   
	if(result.down < 0)//使符号都附加在分子上，方便后续操作
	{
   
		result.up = -result.up;
		result.down = -result.down;
	}
	if(result.up == 0)
		result.down = 1;
	else
	{
   
		long long gcd = getGcd(abs(result.up),abs(result.down));
		result.up /= gcd;
		result.down /= gcd;
	}
	return result;
}
Fraction add(Fraction a,Fraction b)
{
   
	Fraction result;
	result.up = a.up*b.down+b.up*a.down;
	result.down = a.down*b.down;//分母相同，分子交错相乘相加
	return reduction(result);
}
Fraction minu(Fraction a, Fraction b)
{
   
	Fraction result;
	result.up = a.up*b.down - b.up*a.down;
	result.down = a.down*b.down;//分母相乘，分子交错相乘相减
	return reduction(result);
}
Fraction multi(Fraction a, Fraction b)
{
   
	Fraction result;
	result.up = a.up*b.up;
	result.down = a.down*b.down;
	return reduction(result);
}
Fraction divide(Fraction a, Fraction b)
{
   
	Fraction result;
	result.up = a.up*b.down;
	result.down = a.down*b.up;//交错相乘
	return reduction(result);
}
void showResult(Fraction r)
{
   
	r = reduction(r);
	if(r.up < 0)	printf("(");
	if(r.down == 1)
		printf("%lld", r.up);
	else if(abs(r.up) > r.down)
	{
   
		printf("%lld %lld/%lld", r.up/r.down,abs(r.up)%r.down,r.down);
	}
	else
	{
   
		printf("%lld/%lld", r.up, r.down);
	}
	if(r.up < 0)	printf(")");
}
int main()
{
   
	Fraction a,b,result;
	scanf("%lld/%lld %lld/%lld",&a.up,&a.down,&b.up,&b.down);
	showResult(a);
	printf("+");
	showResult(b);
	printf("=");
	result = add(a,b);
	showResult(result);
	printf("\n");

	...
	return 0;
}

素数

一般方法

int isPrime(int n)
{
   
	for(int i=2; i<=(int)sqrt(1.0*n); ++i)
		if(n%i == 0)
			return 0;
	return 1;
}

更优方法：埃氏筛法。思想：扫描一段数，将第一个数的倍数在数组内划掉。按照同样的方法操作第二、三、四…个数，直到所有数扫描完。剩下的数就是素数。

int findPrime(int n, int prime[])//求n个素数
{
   
	int p[maxSize] = {
   0};
	int num = 0;
	for (int i = 2; i < maxSize; ++i)
	{
   
		if(p[i] == 0)
		{
   
			prime[num++] = i;
			if(num >= n)
				break;
			for(int j = i+i; j < maxSize; j+=i)//将i的倍数抹掉
				p[j] = 1;
		}
	}
}

大整数的运算

将字符型整数转化为整型整数，并逆置。以此保证个位对齐。

struct bigInt
{
   
	int d[1000];
	int len;
}
bitInt change(string str)
{
   
	bigInt bI;
	bI.len = str.size();
	for(int i=0; i<bI.len; ++i)
		bId[i]=0;
	for (int i = 0; i < bI.len; ++i)
		bI.d[i]=str[bI.len-i-1]-'0';//逆置并转化为整型
	return bI;
}
bigInt add(bigInt a, bigInt b)
{
   
	bigInt c;
	c.len=0;
	int power=0;//用于进位
	for (int i = 0; i < a.len||i<b.len; ++i)
	{
   
		int temp=a.d[i]+b.d[i]+power;
		c.d[c.len++]=temp%10;
		power=temp/10;
	}
	if(power!=0)
		c.d[c.len++]=power;
	return c;
}
bigInt sub(bigInt a, bigInt b)
{
   
	bigInt c;
	c.len=0;
	for (int i = 0; i < a.len||i<b.len; ++i)
	{
   
		if(a.d[i]<b.d[i])
		{
   
			a.d[i+1]--;//高位向地位补1
			a.d[i]+=10;
		}
		c.d[c.len++]=a.d[i]-b.d[i];
	}
	while(c.len-1>=1 && c.d[c.len-1]==0)
		c.len--;//除去高位的0，且至少保留一位0
	return c;
}
//大整数与小整数的乘法
bigInt multi(bigInt a, int b)
{
   
	bigInt c;
	c.len=0;
	int power=0;
	for (int i = 0; i < a.len; ++i)
	{
   
		int temp=a.d[i]*b+power;
		c.d[c,len++]=temp%10;
		power=temp/10;
	}
	while(power!=0)
	{
   
		c.d[len++]=power%10;
		power/=10;
	}
	return c;
}
//大整数与小整数除法
bigInt multi(bigInt a, int b, int& r)//r余数
{
   
	bigInt c;
	c.len=a.len;
	r=0;
	for(int i=a.len-1; i>=0; i--)
	{
   
		r=r*10+a.d[i];
		if(r<b) c.d[i]=0;
		else
		{
   
			c.d[i]=r/b;
			r=r%b;
		}
	}
	while(c.len-1>=1; && c.d[c.len-1]==0)
		c.len--;
	return c;
}