题解 | #魔法棒#

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题目描述

小坤初始时有 $1$ 根魔法棒。他可以进行任意次操作。每次操作是选择一根魔法棒，将其分裂成 $k$ 根，其中 $k$ 必须是一个正平方数（例如 $1, 4, 9, 16, \dots$ ）。他想知道是否能通过若干次操作，使得魔法棒的总数恰好为 $n$ 。( $1 \le n \le 10^{18}$ )

解题思路

由于 $n$ 的范围非常大，我们无法通过动态规划或直接模拟来求解。这道题需要我们分析操作的数学本质，寻找一个 $O(1)$ 的解法。

1. 分析操作

初始状态：有 $1$ 根魔法棒。
操作：选择 $1$ 根魔法棒，替换为 $k$ 根，其中 $k=m^2$ 是一个正平方数 ( $m \ge 1$ )。
效果：每次操作后，魔法棒的总数会净增加 $k-1$ 根。
目标：总数达到 $n$ 。

这意味着，我们需要通过若干次操作，使得净增加的魔法棒总数为 $n-1$ 。

2. 问题转化 问题可以转化为：数字 $n-1$ 是否可以由若干个 $m^2-1$ 的和组成？我们来看一下这些“净增量” $m^2-1$ ：

如果 $m=1$ , $k=1^2=1$ 。净增量是 $1-1=0$ 。这个操作不会改变魔法棒的总数，对达到目标 $n$ (如果 $n>1$ ) 没有帮助。所以我们只考虑 $m \ge 2$ 的情况。
如果 $m=2$ , $k=2^2=4$ 。净增量是 $4-1=3$ 。
如果 $m=3$ , $k=3^2=9$ 。净增量是 $9-1=8$ 。
如果 $m=4$ , $k=4^2=16$ 。净增量是 $16-1=15$ 。
...以此类推。

所以，问题变成了：数字 $n-1$ 能否由集合 $S = \{3, 8, 15, 24, \dots, m^2-1, \dots\}$ 中的数相加得到？

3. 关键洞察：弗罗贝尼乌斯硬币问题 这是一个经典的“凑数”问题，也叫“找零问题”或“弗罗贝尼乌斯硬币问题”。我们注意到，我们的“硬币”集合 $S$ 中，包含了 $3$ 和 $8$ 。一个重要的数论结论是：对于两个互质的正整数 $a$ 和 $b$ ，任何大于 $a \cdot b - a - b$ 的整数都可以表示成 $xa + yb$ 的形式（其中 $x, y$ 是非负整数）。这个最大不能表示的数被称为弗罗贝尼乌斯数。

对于我们的硬币 $3$ 和 $8$ ， $gcd(3, 8) = 1$ ，它们互质。因此，任何大于 $3 \cdot 8 - 3 - 8 = 13$ 的整数都可以由 $3$ 和 $8$ 凑出来。既然我们的集合 $S$ 中有 $3$ 和 $8$ ，那么任何大于 $13$ 的目标净增量 $n-1$ 都是可以实现的。

4. 检查小数据 现在，我们只需要处理 $n-1 \le 13$ 的情况。我们可以手动检查哪些数是无法凑出的：

目标为 1: 无法凑出。
目标为 2: 无法凑出。
目标为 3: 可以 (3)。
目标为 4: 无法凑出。
目标为 5: 无法凑出。
目标为 6: 可以 (3+3)。
目标为 7: 无法凑出。
目标为 8: 可以 (8)。
目标为 9: 可以 (3+3+3)。
目标为 10: 无法凑出。
目标为 11: 可以 (3+8)。
目标为 12: 可以 (3+3+3+3)。
目标为 13: 无法凑出。

所以，无法凑出的净增量 $n-1$ 的值是 $\{1, 2, 4, 5, 7, 10, 13\}$ 。

5. 结论 如果 $n-1$ 在这个“不可能”集合中，那么就无法达到。换言之，如果 $n$ 在集合 $\{2, 3, 5, 6, 8, 11, 14\}$ 中，答案是 "No"。对于所有其他情况 (包括 $n=1$ ，对应净增量为 $0$ )，答案都是 "Yes"。

代码

c++
java
python

#include <iostream>
#include <set>

using namespace std;

int main() {
    // 存储无法达到的n值
    set<long long> impossible_n = {2, 3, 5, 6, 8, 11, 14};
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        long long n;
        cin >> n;
        if (impossible_n.count(n)) {
            cout << "No" << '\n';
        } else {
            cout << "Yes" << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

import java.util.Scanner;
import java.util.Set;
import java.util.TreeSet;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 存储无法达到的n值
        Set<Long> impossibleN = new TreeSet<>();
        impossibleN.add(2L);
        impossibleN.add(3L);
        impossibleN.add(5L);
        impossibleN.add(6L);
        impossibleN.add(8L);
        impossibleN.add(11L);
        impossibleN.add(14L);

        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();
        while (t-- > 0) {
            long n = sc.nextLong();
            if (impossibleN.contains(n)) {
                System.out.println("No");
            } else {
                System.out.println("Yes");
            }
        }
    }
}

# 存储无法达到的n值
impossible_n = (2, 3, 5, 6, 8, 11, 14)

# 读取测试用例数量
t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    if n in impossible_n:
        print("No")
    else:
        print("Yes")

算法及复杂度

算法：数论 / 模式查找。
时间复杂度：对于每组测试数据，我们只进行一次查找操作。
- 在 C++ 和 Java 中，我们使用 std::set 和 TreeSet，它们的底层是平衡二叉搜索树，查找时间复杂度为 $O(\log k)$ ，其中 $k$ 是不可能值的数量。
- 在 Python 中，我们使用元组 tuple，查找时间复杂度为 $O(k)$ 。
- 由于 $k$ 是一个很小的常数（ $k=7$ ），因此 $O(\log k)$ 和 $O(k)$ 都可以视为 $O(1)$ 。所以，总的时间复杂度为 $O(T)$ ，其中 $T$ 是测试数据组数。
空间复杂度：我们使用了一个数据结构来存储固定的几个不可能值，其空间占用是常数级别的，即 $O(1)$ 。