发现好多区间DP的题,考虑不好就会认为是贪心,嘤嘤嘤

区间DP解法较为固定:

   枚举区间长度,再枚举左端点,之后枚举区间的断点进行转移。

//做上几个题就会发现其实大部分题状态转移方程基本都一样哦

特点:  合并(将两个或多个部分进行整合,或分解成多个部分)

 

能量项链(洛谷1063)

题目描述

在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m×r×n(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。

需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。

例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:

(4⊕1)=10×2×3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为:

((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

输入输出格式

输入格式:

 

第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第iii个数为第iii颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<Ni<N时,第iii颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

 

输出格式:

 

一个正整数E(E≤2.1×(10)9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制

4
2 3 5 10

输出样例#1: 复制

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

 

解释:这个题应该很经典。

首先考虑环形的处理方式,一般方法就是把长度为n的序列再重复一遍,变成2*n的序列,从中随意取出一个长度为n的区间,都可以构成这个环

用head[i]表示第i颗珠子的头节点,tail[i]表示第i颗珠子的尾节点

然后因为第n次合并,可以归结到第n-1次合并,具有明显的动态规划性质。

设f[i][j]表示从第i颗珠子合并到第j颗珠子产生的最大能量

f[i][j] = max(f[i][k] + f[k + 1][j] + head[i] * tail[k] * tail[j] )      i <= k < j

初始化:f[i][i] = 0;

ans = max(f[i][i + n - 1])   1 <= i <= n

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;

int n,ans;
int f[205][205],tail[205],head[205];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d",&head[i]);
        head[i + n] = head[i];
    }
    for(int i = 1;i < 2 * n; ++i)
        tail[i] = head[i + 1];
    tail[2 * n] = head[1];
    for(int i = 1;i <= 2 * n; ++i) f[i][i] = 0;
    for(int len = 1;len < n; ++len)
        for(int i = 1;i <= 2 * n - len; ++i)
        {
            for(int k = i;k < i + len; ++k)
                f[i][i + len] = max(f[i][i + len],
                    f[i][k] + f[k + 1][i + len] + head[i] * tail[k] * tail[i + len]);
        }
    ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
        ans = max(f[i][i + n - 1],ans);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

 

石子合并 (洛谷1880)

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式:

 

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

 

输出格式:

 

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制

4
4 5 9 4

输出样例#1: 复制

43
54

解释:刚开始也以为是贪心来着QAQ,然后WA了几把才想到用DP,虽然我并不知道贪心为啥不对(托腮)

若最初的第l堆石子和第r堆石子合并,则说明l-r之间的石子也已经被合并,这样l和r才可能相连,,,用[l][r]表示区间,那么一定有l到r的一个值k,[l][r] 可以由[l][k],[k][r]合并而来

 

即f[i][j] = max/min(f[i][k] + f[k][j] + sum[j] - sum[i - 1]);

sum数组表示前缀和

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;

int a[205],f[205][205],F[205][205],sum[205];
int n,ans1,ans2;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i + n] = a[i];
    }
    memset(F,0,sizeof(F));
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i = 1;i <= 2 * n; ++i)
    {
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        f[i][i] = 0;
        F[i][i] = 0;
    }
    for(int len = 2;len <= n; ++len)
    {
        for(int i = 1;i <= 2 * n - len + 1; ++i)
        {
            int j = i + len - 1;
            for(int k = i;k < j; ++k)
            {
                f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k] + f[k + 1][j]);
                F[i][j] = max(F[i][j],F[i][k] + F[k + 1][j]);
            }
            f[i][j] += sum[j] - sum[i - 1];
            //cout<<f[i][j]<<endl;
            F[i][j] += sum[j] - sum[i - 1];
        }
    }
    ans1 = 0x3f3f3f3f;
    ans2 = 0;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
    {
        //cout<<f[i][i + n - 1]<<endl;
        ans1 = min(f[i][i + n - 1],ans1);
        ans2 = max(F[i][i + n - 1],ans2);
    }
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
    return 0;
}