BZOJ1063: [Noi2008]道路设计-树形DP

题意：

Z国是一棵树，为了使Z国的交通更加便利顺畅，现决定在Z国的公路系统中确定若干条规划路线，将其中的公路全部改建为铁路。我们定义每条规划路线为一个长度大于1的城市序列，每个城市在该序列中最多出现一次。任意两条规划路线不能有公共部分。一般情况下是不可能将所有的公路修建为铁路的，因此从有些城市出发去往首都依然需要通过乘坐长途汽车，而长途汽车只往返于公路连接的相邻的城市之间，因此从某个城市出发可能需要不断地换乘长途汽车和火车才能到达首都。我们定义一个城市的“不便利值”为从它出发到首都需要乘坐的长途汽车的次数，而Z国的交通系统的“不便利值”为所有城市的不便利值的最大值。

1.确定规划路线修建铁路使得Z国的交通系统的“不便利值”最小

2.有多少种不同的规划路线的选择方案使得“不便利值”达到最小

Solution：

一看题就觉得很像树链剖分，唯一的不同就是一个点可以属于两条重链，由于树剖的性质，所以答案一定是小于 logn 的，那么我们可以考虑一个状态： f[x][i][0/1/2] 表示x的子树内的最大不便利值为i，x向他的儿子连了0/1/2条重链

考虑转移

g[x][i][0/1] 表示x的父亲中，只考虑x这个儿子的子树内的最大不便利值为i时，x向他的父亲连轻/重边的方案数

g[x][i][0]=f[x][i−1][0]+f[x][i−1][1]+f[x][i−1][2]

g[x][i][1]=f[x][i][0]+f[x][i][1]

f[x][i][0]=∏y∈sonx(g[y][i][0])

f[x][i][1]=∑y∈sonx(g[y][i][1])∏z∈sonx,z≠y(g[z][i][0])

f[x][i][2]=∑y∈sonx∑z∈sonx(g[y][i][1]∗g[z][i][1])∏k∈sonx,k≠y,k≠z(g[k][i][0])

复杂度 O(nlogn)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m,size,head[N],f[N][21][3],g[N][2],mod;
struct edg{
    int to,next;
}e[2*N];
void add(int x,int y){size++;e[size]={
  x,head[y]};head[y]=size;}
int update(long long x)
{
    if (x&&x%mod==0) return mod;
    else return x%mod;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    for (int i=0;i<=20;i++) f[x][i][0]=1; 
    for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].to;if (y==fa) continue;
        dfs(y,x);
        for (int j=0;j<=20;j++)
        {
            if (j)
                g[y][0]=update(1ll*f[y][j-1][0]+f[y][j-1][1]+f[y][j-1][2]);
            g[y][1]=update(1ll*f[y][j][0]+f[y][j][1]);
            f[x][j][2]=update(1ll*f[x][j][1]*g[y][1]+1ll*f[x][j][2]*g[y][0]);
            f[x][j][1]=update(1ll*f[x][j][0]*g[y][1]+1ll*f[x][j][1]*g[y][0]);
            f[x][j][0]=update(1ll*f[x][j][0]*g[y][0]);

        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);if (m<n-1) {
  printf("-1\n-1\n");return 0;}
    for (int x,y,i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
    dfs(1,0);
    int j=0,ans=0;
    while (1)
    {
        ans=update(f[1][j][0]+f[1][j][1]+f[1][j][2]);
        if (ans>0) break;
        j++;
    }
    printf("%d\n%d",j,ans%mod);
}