题目

历届试题 小朋友排队  
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问题描述
　　n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

　　每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是0。

　　如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加2（即不高兴程度为3），依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时，他的不高兴程度增加k。

　　请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。

　　如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。
输入格式
　　输入的第一行包含一个整数n，表示小朋友的个数。
　　第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn，分别表示每个小朋友的身高。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。
样例输入
3
3 2 1
样例输出
9
样例说明
　　首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。
数据规模和约定
　　对于10%的数据， 1<=n<=10；
　　对于30%的数据， 1<=n<=1000；
　　对于50%的数据， 1<=n<=10000；
　　对于100%的数据，1<=n<=100000，0<=Hi<=1000000。

解题思路：

  • 解法1：利用冒泡排序模拟交换，不过只能过50%
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = (int)1e5+5;
typedef long long LL;

int val[maxn],number[maxn],n;
LL calc[maxn];

LL solve (int n) {
	LL ans = 0;
	int tmp;
	calc[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> number[i];
		val[i] = 0;
		calc[i] = calc[i - 1] + i;
	}
	
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		for (int j = n - 1; j >= i; j--) {
			if (number[j] > number[j + 1]) {
				val[j]++;
				val[j + 1]++;
				tmp = val[j];
				val[j] = val[j + 1];
				val[j + 1] = tmp;
				
				tmp = number[j];
				number[j] = number[j + 1];
				number[j + 1] = tmp;
			}
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += calc[val[i]];
	}
	return ans;
}

int main() {
	cin >> n;
	cout << solve(n) << '\n';
	return 0;
}
  • 解法2：正解，这种类似于考虑冒泡排序的交换次数的问题，实际上可以转化成求解数字序列的总逆序对数。而这边不是求解交换次数，而是对于交换次数的问题进一步考虑每一个数字的交换次数！根据观察，每一个数字一定会和前面比它大的交换，也会同后面比它小的交换。转化成树状数组就是求前逆序数和后逆序数的和，对于后逆序数利用getsum时要统计的是<=val[i]-1即<val[i]的个数。由于数字的规模和大小差了一个数量级，考虑先将身高数据离散化一下。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <deque>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <utility>
using namespace std;

const int maxn = (int)1e5+5;
typedef long long LL;

int c[maxn],val[maxn],tmp[maxn],rnk[maxn],n,mood[maxn];
LL ans,calc[maxn];

inline int lowbit (int x) {
	return x & (-x);
}

void add (int idx, int num) {
	while (idx <= n) {
		c[idx] += num;
		idx += lowbit(idx);
	}
}

int get_sum (int idx) {
	int res = 0;
	while (idx > 0) {
		res += c[idx];
		idx &= idx - 1;
	}
	return res;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	memset(c, 0, sizeof(c));
	memset(mood, 0, sizeof(mood));
	cin >> n;
	calc[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		calc[i] = calc[i - 1] + i;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> val[i];
		tmp[i] = val[i];
	}
	sort(tmp + 1, tmp + 1 + n);
	int len = unique(tmp + 1, tmp + 1 + n) - tmp - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		rnk[i] = lower_bound(tmp + 1, tmp + 1 + len, val[i]) - tmp + 1; //2~n+1 由于树状数组不允许出现1的数
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		mood[i] += (i - 1) - get_sum(rnk[i]); //前面>rnk[i]的
		add(rnk[i], 1);
	}
	memset(c, 0, sizeof(c));
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		mood[i] += get_sum(rnk[i] - 1); //后面<rnk[i]的
		add(rnk[i], 1);  //易错点 注意不是更新rnk[i] - 1
	}
	ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += calc[mood[i]];
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}