第十章重积分

第一节二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta{\sigma_1},\Delta{\sigma_2},\Delta{\sigma_3},\dots,\Delta{\sigma_n}$ ，其中 $\Delta{\sigma_i}$ 表示第 $i$ 个小区域，也表示它的面积，在每个 $\Delta{\sigma_i}$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，作乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta{\sigma_i}$ ，并作和 $\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta{\sigma_i}$ 。如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区域 $D$ 的分法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区间 $D$ 上的二重积分。