题目大意

给定一个圆和严格位于圆内的一点 $P$ 。
Mocha 会从点 $P$ 向任意角度发射一个长度为 $2 d$ 的电磁炮。
电磁炮底边的中点为点 $P$ 且两端位于圆内。
询问单次发射能摧毁的最大圆弧长。
询问若干次单次发射能摧毁的最大圆弧长。
计算误差不超过 $10^{-6}$ 。

那么，问题来了：

什么样的情况下能够摧毁的弧长最大？

上图!

根据中学数学我们知道，想要圆弧更长，那么它对应的弦就得更长。那么，对于线段 $A B$ ，我们需要令其对应的弦 $c$ 最长。做线段 $b$ ，令其垂直于电磁炮的边界。这样我们就得到了一个三角形：其中易得 $b$ 的长度为 $2 d$ ，是固定的，那么想让 $c$ 最长就等价于找到最长的 $a$ 了。不难得知当 $Q$ 的位置和 $d$ 固定时，当线段 $A B$ 或 $A B$ 的延长线经过 $O$ 时 $a$ 最长。

那么就可以开始愉快的分类讨论了！

根据中学数学知识我们知道弧长 $L=\alpha \times r$ ，即半径乘其对应的圆心角。那么我们不妨设Q到O的距离为 $l_{OQ}$ ，即 $\sqrt{x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} }$ 。

当 $A B$ 的延长线经过 $O$ 时:

在这种情况下， $l_{OQ}> d$ ，我们可以用 $\angle \alpha - \angle\beta$ 来求得其圆心角。由图知 $cos\angle \alpha=\frac{l_{OQ}-d}{r}$ ， $cos\angle \beta=\frac{l_{OQ}+d}{r}$ 。利用反三角函数就可求得圆心角 $\angle \alpha - \angle\beta$ 。

2. 当 $A B$ 经过 $O$ 时:

在这种情况下， $l_{OQ}\le d$ ，我们可以用 $\pi -\angle \alpha - \angle\beta$ 来求得其圆心角。由图知 $cos\angle \alpha=\frac{d-l_{OQ}}{r}$ ， $cos\angle \beta=\frac{d+l_{OQ}}{r}$ 。利用反三角函数就可求得圆心角 $\pi -\angle \alpha - \angle\beta$ 。

那么大概思路就是这样了。当然有一些小细节别忘记了：

计算误差不超过 $10^{-6}$ 。
注意有多组输入输出，输出答案时需要换行！（就是因为它我们贡献了一发罚时TAT）

最后献上参考代码~

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x
#define pi acos(-1)//注意常数π哦
using namespace std;

int t;//数据组数
double r;//半径
double xx,yy,d;//Q的坐标和d
double len,ans;//O到Q的距离和最终的答案

void solve(){
    scanf("%lf",&r);
    scanf("%lf",&xx),scanf("%lf",&yy),scanf("%lf",&d);
    len=sqrt(xx*xx+yy*yy);//计算O到Q的距离
    if(len>d){//分类讨论
        ans=r*(acos((len-d)/r)-acos((len+d)/r));
    }else{
        ans=r*(pi-acos((d-len)/r)-acos((len+d)/r));
    }
    printf("%.12lf\n",ans);//换行别忘记咯
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    scanf("%d",&t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}

题解 | #Mocha and Railgun#

题目大意

什么样的情况下能够摧毁的弧长最大？

那么就可以开始愉快的分类讨论了！

感谢观看！