字符串Hash

什么是字符串Hash？

字符串Hash可以通俗的理解为，把一个字符串转换为一个整数。

如果我们通过某种方法（映射函数），将字符串转换为一个整数，这个映射函数不一定是单射函数，但是我们能尽量的选取一些参数（p和模数mod）来使得在该场景下尽量是一个单射函数。

如果有两个不同的字符串映射为一个同样的整数，这就产生了hash冲突。

所以问题就是如何构造这个Hash函数，使得他们成为一个单射(不存在hash冲突) 。不用担心，接下来的内容正要讲解。

Hash函数

给定一个字符串 $S=s1s2s\mathrm{3..}sn$S=s1s2s3..sn，对字母 $x$x，我们规定 $idx\left(x\right)=x-\prime a+1$idx(x)=x−′a+1。 （当然也可以直接用si的ASCII值）

hash函数有许多，这里只介绍常用的BKDR Hash函数

更多hash函数请参考http://blog.chinaunix.net/uid-15014334-id-5612796.html

BKDR Hash函数：

$hash\left[1\right]=idx\left(s_1\right)$hash[1]=idx(s1​) ，在模mod下

$hash\left[i\right]=hash[i-1]\ast p+idx\left(s_i\right)$hash[i]=hash[i−1]∗p+idx(si​) ，在模mod下

其中p和mod都是我们指定的参数，一般情况下将p和mod尽量取大即可，这样冲突的概率是很低的。

举例：

如取p=13,mod=101，对字符串abc进行Hash

hash[0] = 1

hash[1] = (hash[0] * 13 + 2) % 101 = 15

hash[2] = (hash[1] * 13 + 3) % 101 = 97

都有哪些Hash方法？

普通单Hash方法

只选取一个hash值用来表示一个字符串

自然溢出方法

我们可以将hash[] 的类型定为unsigned long long ，也就是 $2^{64}-1$264−1。并且我们选取$2^{64}-1 $为模数，这样不用每次都进行取模操作( 溢出自动取模) 。这在Acm解决问题是常见的。

双Hash方法

将一个字符串用不同的 $mod$mod hash两次，将这两个结果用一个二元组表示，作为Hash结果。

双hash方法下hash冲突的概率是很低的。

BKDR Hash函数怎么O(1)获得子串的hash值？

假设有一|S|=5的字符串，设Si为第i个字符，其中1≤i≤5。

根据定义分别求出hash[i]

hash[1]=s1

hash[2]=s1∗p+s2

hash[3]=s1∗p2+s2∗p+s3

hash[4]=s1∗p3+s2∗p2+s3∗p+s4

hash[5]=s1∗p4+s2∗p3+s3∗p2+s4∗p+s5

假设我们现在想获得字串 $s_3{s}_4$s3​s4​的hash值，简单计算我们可以知道 $s_3{s}_4$s3​s4​的hash值为 $s_3\ast p+s_4$s3​∗p+s4​, 我们再看下上面列出来的公式，咦~，这不是hash[4]的后缀吗！该后缀前面的部分是 $hash\left[2\right]\ast p^2$hash[2]∗p2 ! ，为此我们发现所有的子串都可以按照这样的方式得出该字串的hash值。

为此我们得出子串 $s_i..s_j$si​..sj​ 的hash值为: $hash\left[j\right]-hash[i-1]\ast p^{j-i+1}$hash[j]−hash[i−1]∗pj−i+1.

当然因为减法可能会出现负数，为了一致我们将统一处理： $\left(\right(hash\left[j\right]-hash[i-1]\ast p^{j-i+1})\%mod+mod)\%mod$((hash[j]−hash[i−1]∗pj−i+1)%mod+mod)%mod

字符串Hash的应用

该部分参考博客https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/80879387#字符串hash入门 ，但是解决方案处不同

题型一

描述
问题：

给两个字符串S1，S2，求S2是否是S1的子串，假设S1的长度为n，S2的长度为为m，求S2在S1中出现的次数

数据范围：1=<|S1|，|S2|<=10000

解法：
可以考虑计算出字符串 $s_1$s1​和 $s_2$s2​的hash数组，然后O(n)处理出所有 $s_1$s1​长度的 $s_2$s2​子串，如果一个子串的hash值与 $s_2$s2​的hash值相等，就判定该子串与 $s_2$s2​相等。总的时间复杂度为O(n+m)。（说实话这是kmp模板题）

题型二

描述
问题：给N个单词串，和一个文章串，求每个单词串是否是文章串的子串，并求每个单词在文章中出现的次数。

数据范围：文章串长度：[1, $10^5$105]，N个单词串总长：[1, $10^6$106​]

解法

​ 其实这是一个AC自动机模板题。

题型三

描述
问题：给两个字符串S1,S2，假设S1的长度为n，S2的长度为为m，求它们的最长公共子串的长度。

数据范围：1=<|S1|，|S2|<=10^5

解法：

​ 考虑二分最长公共字符串长度，对于每一个二分的字符串长度假设为ls，接下来求出 $s_2$s2​的所有长度为ls的子串的hash值并放在map中，这个时间复杂度是O(mlogm)，然后求出 $s_1$s1​的所有长度为ls的子串，这个时间复杂度为O(n)，如果有一个子串的hash值在map中出现过，证明他们有一个长度为ls的公共子串，就向大于ls的长度找答案。否则就没有出现过，答案比ls小。总的时间复杂度为O(log(min(n,m))*(n+m)logm) 。如果n等于m的话时间复杂度就是O(nlognlogn)

题型四

问题：给一个字符串S，求S的最长回文子串。

比如abcbbabbc的最长回文子串是cbbabbc，bbabb也是回文串，但不是最长的

数据范围： 1＝<|S|<=10^5