第三章微分中值定理与导数的应用

第一节微分中值定理

一、罗尔定理

费马引理：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意 $x \in U(x_0)$ ，有 $f(x) \leq f(x_0)$ （或 $f(x) \geq f(x_0)$ ），那么 $f(x_0)^{'} = 0$
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）
罗尔定理：如果函数 $f(x)$ 满足

（1）在闭区间 $[a,b]$ 内连续；

（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导；

（3）在端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$ ，

那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)^{'} = 0$

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理（又称微分中值定理）：如果函数 $f(x)$ 满足

（1）在闭区间 $[a,b]$ 内连续；

（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导，

那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(b) - f(a) = f(\xi)^{'}(b - a)$
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形
注意学习如何构造辅助函数
拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线 $y = f(x)$ 的弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上除端点外处处具有不垂直于 $x$ 轴的切线，那么这弧上至少有一点 $C$ ，使曲线在点 $C$ 处的切线平行于弦 $AB$
有限增量定理
有限增量公式： $\Delta{y} = f(x+\Delta{x}) - f(x) = f(x + \theta\Delta{x})^{'}\Delta{x}$ ，其中 $0 < \theta < 1$
如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续， $I$ 内可导且导数恒为零，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一个常数

三、柯西中值定理

柯西中值定理：如果函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 满足

（1）在闭区间 $[a,b]$ 内连续；

（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导，

（3）对任一 $x \in (a,b)$ ， $F(x) \neq 0$

那么，在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使等式 $\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f(\xi)^{'}}{F(\xi)^{'}}$ 成立

第二节洛必达法则

未定式：当 $x \to 0$ 或者 $x \to \infty$ 时，两个函数 $f(x)$ 与 $F(x)$ 都趋近于零或者无穷大，那么极限 $\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)}{F(x)}}$ 或 $\lim_{x \to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}$ 可能存在也可能不存在，通常把这种形式的极限叫做未定式。常见的有： $\frac{0}{0}$ 型、 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
洛必达法则：设

（1）当 $x \to a$ 时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋近于零；

（2）当点 $a$ 的某个去心领域内， $f^{'}(x)$ 及 $F^{'}(x)$ 都存在且 $F^{'}(x) \neq 0$ （注意，若 $\lim_{x \to a} \frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}$ 存在，也成立）

（3） $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)}$ 存在（或者为无穷大）

则， $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}$
洛必达法则当自变量 $x$ 趋近于 $\infty$ ，即 $x\to\infty$ 时也成立
当 $x \to \infty$ 时，增长速度：指数函数 > 幂函数 > 对数函数
洛必达法则是用于求未定式的一种有效方法，配合等价无穷小或重要极限能使得求解更为快捷

第三节泰勒公式

泰勒中值定理 1：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个领域，对于该领域内的任一 $x$ ，有： $f(x) = f(x_0) + f^{'}(x)(x - x_0) + \frac{f^{''}(x)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$ 。其中， $R_n(x) = o((x - x_0)^n)$

上面的 $f(x)$ 展开式被称为**带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式**。 $R_n{(x)}$ 表达式称为佩亚诺余项，它就是用 $n$ 阶泰勒多项式来近似表达 $f(x)$ 所产生的误差，该误差是当 $x \to x_0$ 时比 $(x - x_0)^n$ 高阶的无穷小。
上面这个定理无法具体给出误差的大小
泰勒中值定理 2：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个领域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对任一 $x \in U(x_0)$ ，有： $f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^{n} + R_n(x)$ ，那么 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^n$ ，这里 $\xi$ 时 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值。

上式被称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $(x-x_0)$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。 $R_n{(x)}$ 表达式称为拉格朗日余项
麦克劳林公式：如果 $x_0$ 取0，那么上面两个展开式就称为麦克劳林公式
一些常用的近似式：

（1） $e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}$

（2） $\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}- \dots + (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x)$ ，其中 $R_{2m}(x) = \frac{\sin{[\theta{x} + (2m+1)\frac{\pi}{2}]}}{(2m+1)!} x^{2m+1} = (-1)^{m} \frac{\cos{\theta{x}}}{(2m+1)!} x^{2m+1}$ ，（ $0 < \theta < 1$ ）

（3） $\cos{x} = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \dots + (-1)^m\frac{1}{(2m)!}x^{2m} + R_{2m+1}(x)$ ，其中 $R_{2m+1}(x) = \frac{\cos{[\theta{x} + (m+1)\pi]}}{(2m+2)!} x^{2m+2} = (-1)^{m+1} \frac{\cos{\theta{x}}}{(2m+2)!} x^{2m+2}$ ，（ $0 < \theta < 1$ ）

（4） $\ln{(1+2)} = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \dots + (-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n + R_n{(x)}$ ，其中 $\frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta{x})^{n+1}}x^{n+1}$ ，（ $0 < \theta < 1$ ）

（5） $(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha{x} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + R_n{(x)}$ ，其中 $R_n{(x)} = \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)(\alpha-n)}{(n+1)!}x^{n+1}$ ，（ $0 < \theta < 1$ ）

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

二、函数的凹凸点与拐点

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。如果对 $I$ 上任意两点 $x_1$ ， $x_2$ ，恒有

（1） $f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ ，那么称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

（2） $f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ ，那么称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在 $(a,b)$ 内 $f^{''}(x) > 0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的图形是（向上）凹的；

（2）若在 $(a,b)$ 内 $f^{'’}(x) < 0$ ， $f(x)$ 在区间 $I$ 上的图形是（向上）凸的
如果曲线 $f(x)$ 经过点 $(x_0, f(x_0))$ 时，曲线的凹凸性改变了，那么称该点位曲线的拐点
拐点处二阶导可以不存在，但存在则该点处二阶导数值必须位0
拐点求解步骤

（1）求 $f^{''}(x)$ ；

（2）令 $f^{''}(x) = 0$ ，解出这个方程在区间 $I$ 内的实根，并求出在区间 $I$ 内 $f^{''}(x)$ 不存在的点

（3）检查（2）中每个实根或者二阶导数不存在的点，观察二阶导数在对应点处的符号。符号相反时，是拐点；否则不是。

第五节函数的极值与最大值最小值

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，如果对去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内任一 $x_0$ ，有 $f(x) < f(x_0)$ （或 $f(x) > f(x_0)$ ），那么称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值（或极小值）
极值的必要条件：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{'}(x_0) = 0$
驻点是函数一阶导数值为0的点。可导函数的极值点必定是它的驻点，驻点并不一定是极值点
极值的第一充分条件：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0， \delta)$ 内可导，那么

（1）若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时， $f^{'}(x_0) > 0$ ，而 $x \in (x_0, x_0 +\delta)$ 时， $f^{'}(x_0) < 0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值；

（2）若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时， $f^{'}(x_0) < 0$ ，而 $x \in (x_0, x_0 +\delta)$ 时， $f^{'}(x_0) > 0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极小值；

（3）若 $x \in\mathring{U}(x_0， \delta)$ 时， $f^{'}(x_0)$ 符号保持不变，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处没有极值。
极值的第二充分条件：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{'}(x_0) = 0$ ， $f^{''}(x_0) \neq 0$ ，则

（1）当 $f^{''}(x_0) < 0$ 时，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值；

（2）当 $f^{''}(x_0) > 0$ 时，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极小值。
最大值最小值，主要考察应用

第六节函数图形的描绘

多练

第七节曲率

注意弧微分的概念
弧微分公式： $ds = \sqrt{1+{y^{'}}^2}dx$
曲线的弯曲程度与切线转过的角度和弧段的长度有关，用曲率来描述曲线的弯曲程度
平均曲率：单位弧段上切线转过的角度的大小，记作 $\overline{K} = \frac{\Delta\alpha}{\Delta{s}}$
求平均曲率的两种公式
- 对直角坐标方程：设 $y = f(x)$ ，且它具有二阶导数。那么， ${K} = \frac{|y^{''}|} {{(1+{y^{'}}^2})^{3/2}}$
- 对参数方程：设 $\begin{equation} \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \end{equation}$ 。那么 $K = \frac{|\varphi^{'}(t)\psi^{''}(t) - \varphi^{''}(t)\psi^{'}(t)|} {[{\varphi^{''}}^2(t) + {\psi^{''}}^2(t)]^{3/2}}$
曲线上任意一点的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为导数，即 $K\rho=1$
注意曲率中心、渐屈线、渐伸线的概念
设曲线方程 $y = f(x)$ ，且其二阶导数 $y^{''}$ 在点 $x$ 处不为零，则曲线在对应点 $M(x,y)$ 的曲率中心 $D(\alpha,\beta)$ 的坐标为 $\begin{equation} \begin{cases} \alpha = x - \frac{y^{'}(1+{y^{'}}^2)}{y^{''}} \\ \beta = y + \frac{1+{y^{'}}^2} {y^{''}} \end{cases} \end{equation}$