第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

  • 费马引理:设函数在点的某领域内有定义,并且在处可导,如果对任意,有(或),那么

  • 通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)

  • 罗尔定理:如果函数满足

    (1)在闭区间内连续;

    (2)在开区间内可导;

    (3)在端点处的函数值相等,即

    那么在至少存在一点,使得

二、拉格朗日中值定理

  • 拉格朗日中值定理(又称微分中值定理):如果函数满足

    (1)在闭区间内连续;

    (2)在开区间内可导,

    那么在至少存在一点,使得

  • 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形

  • 注意学习如何构造辅助函数

  • 拉格朗日中值定理的几何意义:如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线,那么这弧上至少有一点,使曲线在点处的切线平行于弦

  • 有限增量定理

  • 有限增量公式,其中

  • 如果函数在区间上连续,内可导且导数恒为零,那么在区间上是一个常数

三、柯西中值定理

  • 柯西中值定理:如果函数满足

    (1)在闭区间内连续;

    (2)在开区间内可导,

    (3)对任一

    那么,在内至少有一点,使等式成立

第二节 洛必达法则

  • 未定式:当或者时,两个函数都趋近于零或者无穷大,那么极限可能存在也可能不存在,通常把这种形式的极限叫做未定式。常见的有:型、

  • 洛必达法则:设

    (1)当时,函数都趋近于零;

    (2)当点的某个去心领域内,都存在且(注意,若存在,也成立)

    (3)存在(或者为无穷大)

    则,

  • 洛必达法则当自变量趋近于,即时也成立

  • 时,增长速度:指数函数 > 幂函数 > 对数函数

  • 洛必达法则是用于求未定式的一种有效方法,配合等价无穷小重要极限能使得求解更为快捷

第三节 泰勒公式

  • 泰勒中值定理 1:如果函数处具有阶导数,那么存在的一个领域,对于该领域内的任一,有:。其中,

    上面的展开式被称为**带有佩亚诺余项的阶泰勒公式**。表达式称为佩亚诺余项,它就是用阶泰勒多项式来近似表达所产生的误差,该误差是当时比高阶的无穷小。

  • 上面这个定理无法具体给出误差的大小

  • 泰勒中值定理 2:如果函数的某个领域内具有阶导数,那么对任一,有:,那么,这里之间的某个值。

    上式被称为处(或按的幂展开)的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式。表达式称为拉格朗日余项

  • 麦克劳林公式:如果取0,那么上面两个展开式就称为麦克劳林公式

  • 一些常用的近似式:

    (1)

    (2),其中,(

    (3),其中,(

    (4),其中,(

    (5),其中,(

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

二、函数的凹凸点与拐点

  • 在区间上连续。如果对上任意两点,恒有

    (1),那么称在区间上的图形是(向上)凹的(或凹弧);

    (2),那么称在区间上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

  • 上连续,在具有一阶和二阶导数,那么

    (1)若在,则在区间上的图形是(向上)凹的

    (2)若在在区间上的图形是(向上)凸的

  • 如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,那么称该点位曲线的拐点

  • 拐点处二阶导可以不存在,但存在则该点处二阶导数值必须位0

  • 拐点求解步骤

    (1)求

    (2)令,解出这个方程在区间内的实根,并求出在区间不存在的点

    (3)检查(2)中每个实根或者二阶导数不存在的点,观察二阶导数在对应点处的符号。符号相反时,是拐点;否则不是。

第五节 函数的极值与最大值最小值

  • 设函数在点的某邻域内有定义,如果对去心邻域内任一,有(或),那么称是函数的一个极大值(或极小值

  • 极值的必要条件:设函数处可导,且在处取得极值,则

  • 驻点是函数一阶导数值为0的点。可导函数的极值点必定是它的驻点,驻点并不一定是极值点

  • 极值的第一充分条件:设函数处连续,且在的某去心邻域内可导,那么

    (1)若时, ,而时,,则在点处取得极大值;

    (2)若时, ,而时,,则在点处取得极小值;

    (3)若时,符号保持不变,则在点处没有极值。

  • 极值的第二充分条件:设函数处具有二阶导数且,则

    (1)当时,函数在点处取得极大值;

    (2)当时,函数在点处取得极小值。

  • 最大值最小值,主要考察应用

第六节 函数图形的描绘

  • 多练

第七节 曲率

  • 注意弧微分的概念
  • 弧微分公式
  • 曲线的弯曲程度与切线转过的角度和弧段的长度有关,用曲率来描述曲线的弯曲程度
  • 平均曲率:单位弧段上切线转过的角度的大小,记作
  • 求平均曲率的两种公式
    • 对直角坐标方程:设,且它具有二阶导数。那么,
    • 对参数方程:设。那么
  • 曲线上任意一点的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为导数,即
  • 注意曲率中心渐屈线渐伸线的概念
  • 设曲线方程,且其二阶导数在点处不为零,则曲线在对应点的曲率中心的坐标为

第八节 方程的近似解

  • 二分法
  • 切线法
  • 割线法: