1、暴力递归 
const fib = (n) =>{
     if(n=== 1 || n===2)return 1;
     return fib(n-1) + fib(n-2);
}
function Fibonacci(n){// 暴力递归 斐波那契数列的数学形式就是递归的
   return fib(Number(n))
}
module.exports = {
    Fibonacci : Fibonacci
};
我们也知道这样写代码虽然简洁易懂，但是十分低效，低效在哪里？假设 n = 20，请画出递归树：
递归算法的时间复杂度怎么计算？就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。

首先计算子问题个数，即递归树中节点的总数。显然二叉树节点总数为指数级别，所以子问题个数为 O(2^n)。

然后计算解决一个子问题的时间，在本算法中，没有循环，只有 f(n - 1) + f(n - 2) 一个加法操作，时间为 O(1)。

所以，这个算法的时间复杂度为二者相乘，即 O(2^n)，指数级别，爆炸。

观察递归树，很明显发现了算法低效的原因：存在大量重复计算，比如 f(18) 被计算了两次，而且你可以看到，以 f(18) 为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，会耗费巨大的时间。更何况，还不止 f(18) 这一个节点被重复计算，所以这个算法及其低效。

这就是动态规划问题的第一个性质：重叠子问题。

2、带备忘录的递归解法

一般使用一个数组充当这个「备忘录」，当然也可以使用哈希表（字典），思想都是一样的。
实际上，带「备忘录」的递归算法，把一棵存在巨量冗余的递归树通过「剪枝」，改造成了一幅不存在冗余的递归图，极大减少了子问题（即递归图中节点）的个数。 
const helper = (memo,n) =>{
    if(n === 0 || n === 1) return n;
    if(memo[n] !== 0)return memo[n];
    memo[n] = helper(memo, n -1) + helper(memo,n-2);
    return memo[n]
}
const fib = (n) =>{
    let memo = Array(n+1).fill(0)
    return helper(memo,n)
}
function Fibonacci(n){
   return fib(Number(n))
}

子问题个数，由于本算法不存在冗余计算，子问题就是 f(1), f(2), f(3) … f(20)，数量和输入规模 n = 20 成正比，所以子问题个数为 O(n)。

解决一个子问题的时间，同上，没有什么循环，时间为 O(1)。

所以，本算法的时间复杂度是 O(n)，比起暴力算法，是降维打击。

至此，带备忘录的递归解法的效率已经和迭代的动态规划解法一样了。实际上，这种解法和常见的动态规划解法已经差不多了，只不过这种解法是「自顶向下」进行「递归」求解，我们更常见的动态规划代码是「自底向上」进行「递推」求解。

啥叫「自顶向下」？注意我们刚才画的递归树（或者说图），是从上向下延伸，都是从一个规模较大的原问题比如说 f(20)，向下逐渐分解规模，直到 f(1) 和 f(2) 这两个 base case，然后逐层返回答案，这就叫「自顶向下」。

啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下、最简单、问题规模最小、已知结果的 f(1) 和 f(2)（base case）开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)。这就是「递推」的思路，这也是动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算的原因。

3、dp 数组的迭代（递推）解法

有了上一步「备忘录」的启发，我们可以把这个「备忘录」独立出来成为一张表，通常叫做 DP table，在这张表上完成「自底向上」的推算！ 
const fib = (n) =>{
    if(n === 0)return 0;
    let dp = Array(n+1).fill(0);
    // base case
    dp[0] = 0;dp[1] = 1;
    // 状态转移
    for(let i = 2;i <= n;i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n]
}
function Fibonacci(n){
   return fib(Number(n))
}
画个图就很好理解了，而且你发现这个 DP table 特别像之前那个「剪枝」后的结果，只是反过来算而已。实际上，带备忘录的递归解法中的「备忘录」，最终完成后就是这个 DP table，所以说这两种解法其实是差不多的，大部分情况下，效率也基本相同。
这里，引出「状态转移方程」这个名词，实际上就是描述问题结构的数学形式：

为啥叫「状态转移方程」？其实就是为了听起来高端。

f(n) 的函数参数会不断变化，所以你把参数 n 想做一个状态，这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 转移（相加）而来，这就叫状态转移，仅此而已。

你会发现，上面的几种解法中的所有操作，例如 return f(n - 1) + f(n - 2)，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，以及对备忘录或 DP table 的初始化操作，都是围绕这个方程式的不同表现形式。

可见列出「状态转移方程」的重要性，它是解决问题的核心，而且很容易发现，其实状态转移方程直接代表着暴力解法。

千万不要看不起暴力解，动态规划问题最困难的就是写出这个暴力解，即状态转移方程。

只要写出暴力解，优化方法无非是用备忘录或者 DP table，再无奥妙可言。

我们会发现，根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。

所以，可以进一步进行细节优化，把空间复杂度降为 O(1)。也就是我们最常见的计算斐波那契数的算法： 

const fib = (n) =>{
    if(n === 0 || n === 1){
        return n;// base case
    }
    // let dp = Array(n+1).fill(0);
    // 分别代表 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]
    let dp_i_1 = 1,dp_i_2 = 0;
    // 状态转移
    for(let i = 2;i <= n;i++){
       // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        let dp_i = dp_i_1 + dp_i_2;
        // 滚动更新
        dp_i_2 = dp_i_1;
        dp_i_1 = dp_i;
    }
    return dp_i_1;
}
function Fibonacci(n){
   return fib(Number(n))
}

这一般是动态规划问题的最后一步优化，如果我们发现每次状态转移只需要 DP table 中的一部分，那么可以尝试缩小 DP table 的大小，只记录必要的数据，从而降低空间复杂度。

上述例子就相当于把DP table 的大小从 n 缩小到 2。一般来说是把一个二维的 DP table 压缩成一维，即把空间复杂度从 O(n^2) 压缩到 O(n)。

动态规划的另一个重要特性「最优子结构」，没有涉及？斐波那契数列的例子严格来说不算动态规划，因为没有涉及求最值，以上旨在说明重叠子问题的消除方法，演示得到最优解法逐步求精的过程。