约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后 [1] 结果+1即为原问题的解。

有递推公式 f n = ( f n − 1 + k ) % n f_n=(f_{n-1}+k)\%n fn​=(fn−1​+k)%n， f n f_n fn​表示n个人按k的取法最后一个人的编号，这个公式的证明：
首先我们是在知道 f n − 1 f_{n-1} fn−1​的情况下，比如1 2 3 4 5 k=3，第一轮取了3，剩下编号是1 2 4 5，但是其实我们第二轮取的时候编号是从4开始编为1的，也就是3 4 1 2，对比这两个序列，可以看出这个老的序列（ f n f_n fn​）就是新序列（ f n − 1 f_{n-1} fn−1​）+k再取模n的

可以递归也可以不递归

int solve(int n,int k){
   
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
		f[i]=(f[i-1]+k)%i;
	}
	return f[n]+1;
}

这个算是约瑟夫环的变形吧，就是每一轮删完不是从下一个删，而是从第一个开始，比如1-10，k=3,第一轮删除3,6,9之后，不是从10开始算1，而是从1开始，没有形成一个环
hdu2211

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
long long n,k;
//函数返回的就是胜利者编号
long long cir(long long n,long long m){
   
    //递归边界
    if(n==k){
   
        return k;
    }
    //一轮过去后剩下n-n/k人
    //x就是下一轮也就是最后胜利者的编号
    long long x=cir(n-n/k,k);
    //在这一轮的编号t=(x-1)-(x-1)/k+1再化简
    return (x-1)/(k-1)+x;
}
int main(void){
   
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
   
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        printf("%lld\n",cir(n,k));
    }
    return 0;
}