【动态规划】01背包问题

问题描述：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。 

这个题是很典型的一个动态规划的题目，动态规划题目的题就是找好初始条件和结束条件以及状态转移方程。也就是类似于由小推大的方式。我们这里定义一个二维数组v用来存储最大价值，数组的第一维表示的是当前存放i个物品，第二维表示当前背包的空间是j。v[i][j]表示的是当用前i个物品为候选物品，背包的空间是j的时候的最大价值，由此可知该二维数组存放的最后一个值就为该题目的结果。

状态转移方程：

if (背包体积j小于物品i的体积)
    //背包装不下第i个物体，所以其结果和前i-1个物体的结果是一样的
    v[i][j] = v[i-1][j]; 
else
    v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    public static void main(String[] args) {
        //int[] weight = {1, 12};
        //这里为了保证v中存放的行列值和重量价值对应的索引对应上所以用0放到了前面，因为数组索引是从0开始的
        int[] weight = {0, 6, 1, 5, 2, 1};  
        //int[] value = {2, 4};
        int[] value = {0, 48, 7, 40, 12, 8};
        int capacity = 8; //容量
        System.out.println(maxValue(weight, value, capacity));
    }

    public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int capacity) {
        int weightLen = weight.length;
        int valueLen = capacity + 1;//列值长度加1，是因为最后一列的列值和重量值相对应
        int maxValue = 0;
        int[][] v = new int[weightLen][valueLen];
        for (int i = 1; i < weightLen; i++) {
            for (int j = 1; j < valueLen; j++) {
                if (i == 0 || j == 0)
                    v[i][j] = 0;
                if (weight[i] <= j) {
                    v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                } else {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                }
                maxValue = v[i][j];
            }
        }
//        for (int i = 0; i < weightLen; i++) {
//            for (int j = 0; j < valueLen; j++) {
//                System.out.print(v[i][j] + " ");
//            }
//            System.out.println();
//        }
        return maxValue;
    }
/**
 * v存储的结果
 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 * 0 0 0 0 0 0 48 48 48
 * 0 7 7 7 7 7 48 55 55
 * 0 7 7 7 7 40 48 55 55
 * 0 7 12 19 19 40 48 55 60
 * 0 8 15 20 27 40 48 56 63
 */