NC16645 矩阵取数游戏

题目地址:

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16645

基本思路：

首先根据题意我们易发现矩阵的每一行是独立的，因此我们计算出每一行答案再相加就行了。

要计算每一行的答案，我们可以使用区间 $dp$ ,设 $dp[l][r]$ 表示这一行 $[l,r]$ 范围内的最大取数方案，我们将原题的取数转换成向区间两边加数，每次能向两边扩展就有两种状态转移途径，因此设 $x$ 表示当前所在行易得如下的状态转移方程：

区间长度为 $1$ 时： $dp[l][r] = a[x][l] * 2$

否则: $dp[l][r] = max((a[x][l] + dp[l + 1][r]) * 2,(a[x][r] + dp[l][r-1]) * 2)$

根据以上，我们就能求得每一行的最佳取数结果，相加就是答案了。

数据范围比较大，会爆 $long long$ 所以我们要开 $\_\_int128$ 。

参考代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO std::ios::sync_with_stdio(false)
#define int __int128
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (int i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define INF (int)1e18

inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n,m,a[110][110],dp[110][110];
int solve(int x) { // 每一行使用区间dp独立计算;
  for (int len = 1; len <= m; len++) {
    for (int l = 1; l + len - 1 <= m; l++) {
      int r = l + len - 1;
      if (len == 1) dp[l][r] = a[x][l] * 2; // 区间长为1的情况;
      else dp[l][r] = max((a[x][l] + dp[l + 1][r]) * 2, (a[x][r] + dp[l][r - 1]) * 2);
    }
  }
  return dp[1][m];
}
signed main() {
  n = read(),m = read();
  rep(i,1,n) rep(j,1,m) a[i][j] = read();
  int ans = 0;
  rep(i,1,n){
    ans += solve(i);
  }
  print(ans);
  return 0;
}