冲激串采样

在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。

一般来讲，在没有任何附加条件或说明下，我们不能指望一个信号都能唯一地由一组等间隔的样本值来表征。例如，下图中三个不同的连续时间信号，在 $T$T 的整数倍时刻点上，全部有相同的值，即

$x_1\left(kT\right)=x_2\left(kT\right)=x_3\left(kT\right)$x1​(kT)=x2​(kT)=x3​(kT)

很明显，有无限多个信号都可以产生一组给定的样本值。然而，将会看到，如果一个信号是带限的（即它的傅里叶变换在某一有限频带范围以外均为零），并且它的样本取得足够密的话（相对于信号中的最高频率而言），那么这些样本就能唯一地用来表征这一信号，并且能从这些样本中把信号完全恢复出来。

为了建立采样定理，我们需要一种方便的方式来表示一个连续时间信号在均匀间隔上的采样。一种有用的办法是通过用一个周期冲激串去乘待采样的的连续时间信号 $x\left(t\right)$x(t)，这一方法称为冲激串采样，该周期冲激串 $p\left(t\right)$p(t) 称作采样函数，周期 $T$T 称为采样周期，而 $p\left(t\right)$p(t) 的基波频率 ${\omega }_s=2\pi /T$ωs​=2π/T 称为采样频率。

在时域中有

$\begin{array}{}\text{(1)}& x_p\left(t\right)=x\left(t\right)p\left(t\right)\end{array}$xp​(t)=x(t)p(t)(1)

其中

$\begin{array}{}\text{(2)}& p\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)\end{array}$p(t)=n=−∞∑+∞​δ(t−nT)(2)

是一个冲激串，其冲激的幅度等于 在以 为间隔处的样本值，即

$\begin{array}{}\text{(3)}& x_p\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT\right)\delta (t-nT)\end{array}$xp​(t)=n=−∞∑+∞​x(nT)δ(t−nT)(3)

由傅里叶变换的相乘性质知道

$\begin{array}{}\text{(4)}& X_p\left(j\omega \right)=\frac{1}{2\pi }\left[X\right(j\omega )\ast P(j\omega \left)\right]\end{array}$Xp​(jω)=2π1​[X(jω)∗P(jω)](4)

并且有

$\begin{array}{}\text{(5)}& P\left(j\omega \right)=\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -k{\omega }_s)\end{array}$P(jω)=T2π​k=−∞∑+∞​δ(ω−kωs​)(5)

因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有

$\begin{array}{}\text{(6)}& X_p\left(j\omega \right)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\left(j\right(\omega -k{\omega }_s\left)\right)\end{array}$Xp​(jω)=T1​k=−∞∑+∞​X(j(ω−kωs​))(6)

这就是说， $X_p\left(j\omega \right)$Xp​(jω) 是频率 $\omega$ω 的周期函数，它由一组移位的 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 叠加所组成，但在幅度上标以 $1/T$1/T 的变化。

当 $ \omega_M < \omega_s- \omega_M $ 或者 $ \omega_s > 2\omega_M $ 时，互相移位的这些 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 之间，并无重叠现象出现；反之，则会出现重叠现象。

采样定理

设 $x\left(t\right)$x(t) 是某一带限信号，在 $\mid \omega \mid \&gt;{\omega }_M$∣ω∣>ωM​ 时， $X\left(j\omega \right)=0$X(jω)=0。如果 ${\omega }_s\&gt;2{\omega }_M$ωs​>2ωM​，其中 ${\omega }_s=2\pi /T$ωs​=2π/T，那么 $x\left(t\right)$x(t)就唯一地由其样本 $x\left(nT\right),n=0,\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot$x(nT),n=0,±1,±2,⋅⋅⋅所确定。

已知这些样本值，我们能用如下办法重建 $x\left(t\right)$x(t)：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将该冲激串通过一个增益为 $T$T，截至频率大于 ${\omega }_M$ωM​，而小于 $({\omega }_s-{\omega }_M)$(ωs​−ωM​)的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 $x\left(t\right)$x(t)。

在采样定理中，采样频率必须大于 $2{\omega }_M$2ωM​，该频率一般称为奈奎斯特频率。

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