中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8425731.html 《《《《《《《扩展CRT这位大佬的超好

看了很多博客始终没弄明白中国剩余定理到底是怎么算出来的，看孙子的话完全是一脸懵逼啊……还好有这个博客大神的博客Orz，真的讲的特别清晰。点赞点赞~

下面会用到的数学公式：

①如果a%b=c，那么如果a%x=c/2，此时x=b/2；也就是说被除数相等时，被除数和余数是成比例的。

②如果a%b=c，那么（a%k*b)=c，其中k为整数

问题引入：

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分下面三步：

1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2、用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。

3、用233除以3、5、7的最小公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最小数。

解释：

那么我们可能会问：为什么要这样算……

如果我们设出三个数n1、n2、n3，满足：n1%3=2、n2%5=3、n3%7=2；

那么，我们先从n1这个角度出发，能不能让n1+n2也满足%3=2呢？根据上面的公式②，如果n2是3的倍数就完全可以满足，同样如果让n1+n2+n3满足%3=2，需要n2和n3都是3的倍数；

同样的，我们从n2和n3的角度出发可以得到：

1、n1需要是5、7的倍数；

2、n2需要是3、7的倍数；

3、n3需要是3、5的倍数；

如果找到了满足上面的三个条件的n1、n2、n3，根据上面的推论，n1+n2+n3就是满足题目要求的那个数，（但不一定是最小的哈）

接下来的问题就是----------------------我们要怎么在5和7的倍数中找出一个数满足%3=2（2、3条件类似）

我们最开始列出的第一个公式还没有用呢！是不是可以转化成在5和7的倍数中找到一个数满足%3=1就可以了呢？然后我们再*2就可以了，为什么会想要让余数为1呢？因为这个跟逆元的求法几乎一样哇。

补充：求逆元的方法：

①费马小定理

②扩展欧几里得

-------------------------------------------------------我只是个分割线哇--------------------------------------------------------------------------------

下面给出模板代码：

//中国剩余定理模板


//中国剩余定理模板

typedef long long ll;

ll chian(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数

{

    ll M=1,y,x=0;

    for(int i=0;i<n;++i)  //算出它们累乘的结果

        M*=a[i];

    for(int i=0;i<n;++i)

    {

        ll w=M/a[i];

        ll tx=0;

        int t=exgcd(w,a[i],tx,y);  //计算逆元

        x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M; 

    }

    return (x+M)%M;

}

另:在倒数第二行的式子中，w*(b[i]/t)*x中，x其实是式子 w*x+a[i]*y=gcd 求出来的“逆元”，打引号是因为真正的逆元式子右边应该是1而不是gcd 因此要把x/t，这是的x/t才是真正的逆元，然后我们再乘以余数b[i]*w，得到的就是我们想要的~~

呼呼

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