nefu481最小路径覆盖问题【网络流24题】

最小路径覆盖问题

Problem:481

Time Limit:1000ms

Memory Limit:65536K

Description

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少
的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。
提示：设V={1，2，...; ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

</center> 每条边的容量均为1。求网络G1的（x0 , y0 ）最大流。对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

Input

多组数据输入.
每组输入第1 行有2个正整数n&lt;=200和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

Output

程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件 output.txt 中。从第 1 行开始，每行输出
一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

Sample Input

Sample Output

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

Hint

Source

线性规划与网络流24题

中文题不解释

说说路径输出吧 if(ver[i]-n>0)mark[ver[i]-n]=1;排除掉拆出来的点

【问题分析】

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。

【建模方法】

构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。

最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。

【建模分析】

对于一个路径覆盖，有如下性质：

1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。

注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

p.s.有管理员账号就是好啊……随便改题改数据

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int oo=1e9;
/**oo 表示无穷大*/
const  int mm=111111111;
/**mm 表示边的最大数量，记住要是原图的两倍，在加边的时候都是双向的*/
const  int mn=999;
/**mn 表示点的最大数量*/
int node,src,dest,edge;
/**node 表示节点数，src 表示源点，dest 表示汇点，edge 统计边数*/
int ver[mm],flow[mm],next[mm];
/**ver 边指向的节点，flow 边的容量 ，next 链表的下一条边*/
int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];
int to[mn],mark[mn];
    int n,m,x,y;
void prepare(int _node, int _src,int _dest)
{
    node=_node,src=_src,dest=_dest;
    for(int i=0; i<node; ++i)head[i]=-1;
    edge=0;
}
/**增加一条 u 到 v 容量为 c 的边*/
void addedge( int u,  int v,  int c)
{
    ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
    ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
/**广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束*/
bool Dinic_bfs()
{
    int i,u,v,l,r=0;
    for(i=0; i<node; ++i)dis[i]=-1;
    dis[q[r++]=src]=0;
    for(l=0; l<r; ++l)
        for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i])
            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)
            {
                /**这条边必须有剩余容量*/
                dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
                if(v==dest)  return 1;
            }
    return 0;
}
/**寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度*/
int Dinic_dfs(  int u, int exp)
{
    if(u==dest)  return exp;
    /**work 是临时链表头，这里用 i 引用它，这样寻找过的边不再寻找*/
    for(  int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])
        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)
        {
            to[u]=ver[i];
            if(ver[i]-n>0)mark[ver[i]-n]=1;
            flow[i]-=tmp;
            flow[i^1]+=tmp;
            /**正反向边容量改变*/
            return tmp;
        }
    return 0;
}

int Dicnic_flow()
{
    int i,ret=0,delta;
    while(Dinic_bfs())
    {
        for(i=0; i<node; ++i)work[i]=head[i];
        while(delta=Dinic_dfs(src,oo))
          ret+=delta;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        prepare(n*2+2,0,n*2+1);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>x>>y;
            addedge(x,y+n,1);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            addedge(0,i,1);
            addedge(i+n,n*2+1,1);
        }
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        memset(to,0,sizeof(to));
        int sum=n-Dicnic_flow();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(mark[i])continue;
            printf("%d",i);
            int k=i;
            while(to[k])
            {
                printf(" %d",to[k]-n);
                k=to[k]-n;
            }
            printf("\n");
        }
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}