计算机中数据信息的表示

计算机中数制与数制转换方法
- 数制与数制转换
计算机中数值数据的表示
- 带符号数的表示
- - 机器数与真值
  - 常见微处理器中的整数数据表示
原码、补码、反码、移码表示及运算方法

本章学习内容：
计算机中数制与数制转换方法
计算机中数值数据的表示
机器数的概念
原码、补码、反码、移码表示及运算方法

计算机中数制与数制转换方法

计算机内部信息

数制与数制转换

计算机中常用进位计数制

二进制
数字：0，1
进位方式：逢二进一
后缀：B 如10100011B

八进制
数字：0，1，2，3，4，5，6，7
进位方式：逢八进一
后缀：O 或 Q 如137.67Q

十进制
数字： 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9
进位方式：逢十进一
后缀：D 或无如 1357.26

十六进制
数字： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F
进位方式：逢十六进一
后缀：H 如 19BF.36EH

任意进制数转换为十进制数

方法：按权相加。即利用按位展开公式将系数与位权值相乘后求和。

十进制数转换为任意进制数

数制转换原则：
两个有理数相等⇒这两个有理数的整数部分、小数部分分别相等。
进行不同数制之间的转换时要求：
整数部分、小数部分分别进行转换

数制转换方法

整数部分：除基取余

① 把被转换的十进制整数除以基数R，取其余数即为R进制整数的最低位的数字。
② 再用基数R去除前次所得的商，所得余数即为R进制整数相应位的数字。
③ 重复②，直到商为0为止。

小数部分：乘基取整

① 把被转换的十进制小数乘以基数R，取乘积的整数部分作为R进制小数的最高位的数字。
② 再用基数R乘前一步乘积的小数部分，取新的乘积的整数部分为R进制小数相应位的数字。
③ 重复②，直到乘积的小数部分为。或求得所要求的位数为止。

计算机中数值数据的表示

数据表示
能够由计算机硬件直接识别的数据类型，如定点数、浮点数等。
硬件直接识别
即某种数据类型可用计算机硬件直接表示出来，并能用计算机指令直接调用。

数据表示（取值范围、精度、类型）
影响计算机性能的全局性问题
直接影响算法的选择、硬件结构与组成
随硬件技术和应用需求而变化和发展
是复杂的系统设计问题

带符号数的表示

机器数与真值

由于计算机中的硬件电路只能直接表示和处理二进制数，所以需要研究带符号数的符号和小数点在计算机中如何表示。
1.机器数
采用二进制表示形式的连同数符一起代码化了的数据，在计算机中统称为机器数或机器码。机器数是数在计算机中的二进制表示形式。
2.真值
与机器数对应的用正、负符号加绝对值表示的实际数值称为真值。
3.机器数的特点
⑴ 数的符号二进制代码化。“0”代表＋，“1”代表－，且放在数据的最高位。
⑵ 小数点本身是隐含的，不占用存储空间。
⑶ 每个机器数数据所占的二进制位数受机器硬件规模的限制，与机器字长有关。超过机器字长的数值要舍去。

机器数可分为
无符号数：机器字长的所有二进制位均表示数值
带符号数：数值部分和符号均用二进制代码表示

机器数表示的数值是不连续的

常见微处理器中的整数数据表示

无符号二进制数的数据表示

如何知道计算机表示的数据是否带符号？
计算机在执行指令时，指令所处理的数据类型由指令操作码决定

原码、补码、反码、移码表示及运算方法

原码表示

原码表示：保持原有的数值部分的形式不变，只将符号用二进制代码表示。
原码表示是最简单的机器数表示方法。

原码的定义
纯小数原码定义：

原码中 0 的表示

原码的表数范围

原码的移位规则

原码的特点

⑴ 原码表示直观、易懂，与真值的转换容易。
⑵ 原码表示中0有两种不同的表示形式，给使用带来了不便。
通常0的原码用[＋0]原表示，若在计算过程中出现了[－0]原，则需要用硬件将[－0]原变为[＋0]原。
⑶ 原码表示的加减运算复杂。
利用原码进行两数相加运算时，首先要判别两数符号，若同号则做加法，若异号则做减法。
在利用原码进行两数相减运算时，不仅要判别两数符号，使得同号相减，异号相加；还要判别两数绝对值的大小，用绝对值大的数减去绝对值小的数，取绝对值大的数符号为结果的符号。
可见原码表示不便于实现加减运算。

补码表示

引入补码的目的是为了解决原码表示在加减运算时的不便。
1.模的概念
根据运算时“模”的概念
5－2＝5＋8＝3 （mod 10）
对于某一确定的模，某数减去一个数，可以用加上那个数的负数的补数来代替。

补码的定义

在计算机中，由于数据是用二进制编码表示的，所以把补数称为补码。
对于纯小数表示，通常取模 M＝2
对于纯整数表示，通常取模 M＝2^（n＋1） (n为除符号位以外数值位的位数)

特殊数的补码表示

补码的简便求法

补码的几何性质

① 正数的补码就是其本身，负数的补码表示的实质是把负数映像到正值区域，因此加上一个负数或减去一个正数可以用加上另一个数(补码)来代替。
② 从表示符号的角度看，符号位的值代表了数的正确符号，0表示正数，1表示负数。从映像值来看，符号位的值是映像值的一个数位，因此在补码运算中，符号位与数值位一样参加运算。
补码的几何性质说明了补码运算的基础。

原码运算时符号位不能参加运算。

补码的几个关系

补码与原码的关系

补码与机器负数的关系

补码的移位规则

补码的右移规则：
符号位不变，数值位各位向右移位，高位移空位置补与符号位相同的代码。
补码的左移规则：
连同符号位同时左移，低位移空位置补0。如果移位后符号位与移位前符号位不一致，说明移位出错，将有效位移出了。

补码的模

补码总是对确定的模而言的。如果补码运算结果超过了模，则模将自动丢失。
补码运算在运算过程中，模不能改变。
因为整数补码的模不同，所以不能将不同位数的补码直接进行运算。如需进行运算，需要进行符号扩展。

补码的特点

⑴ 在补码表示中，用符号位x0表示数值的正负，形式与原码表示相同，即0正1负。但补码的符号可以看作是数值的一部分参加运算。
⑵ 在补码表示中，数值“0”只有一种表示方法，即00…0。
⑶ 负数补码的表示范围比负数原码的表示范围略宽。纯小数的补码可以表示到“－1”，纯整数的补码可以表示到“－2^n”。
由于补码表示中的符号位可以与数值位一起参加运算，并且可以将减法转换为加法进行运算，简化了运算过程，因此计算机中均采用补码进行加减运算。