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小红的圆构造

题目描述

在平面直角坐标系中，给定一个位于第一象限的点 。你需要构造一个圆，满足以下两个条件：

  1. 圆和 x 轴、y 轴都相切。
  2. 圆经过点 。

题目保证存在两个这样的圆。你需要从小到大输出这两个圆的半径。

解题思路

这是一个典型的解析几何问题。我们可以通过将几何约束转化为代数方程来求解。

1. 建立坐标系与方程

  • 几何约束：一个在第一象限内且同时与 x 轴和 y 轴相切的圆，其圆心坐标必定为 ，其中 是圆的半径。
  • 圆的标准方程：根据圆心和半径，我们可以写出该圆的方程：

2. 代入已知点

  • 代数约束：题目要求圆必须经过点 。这意味着该点的坐标必须满足圆的方程。我们将 和 代入方程中：

3. 求解关于半径 的二次方程

我们得到了一个关于半径 的一元二次方程。接下来，我们展开并整理它：

  1. 展开平方项：
  2. 合并同类项，整理成标准二次方程 的形式：

4. 使用求根公式

现在我们可以使用二次方程的求根公式 来解出 。

计算判别式（根号下的部分） ：

将 代入求根公式：

5. 最终答案

这样我们就得到了两个半径的解：

由于 总是正的，所以 。我们按顺序输出这两个值即可。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    double px, py;
    cin >> px >> py;

    double term = sqrt(2.0 * px * py);
    double sum = px + py;

    double r1 = sum - term;
    double r2 = sum + term;
    
    // Although the derivation guarantees r1 < r2, using min/max is safer
    // in case of floating point inaccuracies with very specific inputs.
    cout << fixed << setprecision(6) << min(r1, r2) << " " << max(r1, r2) << endl;

    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        double px = sc.nextDouble();
        double py = sc.nextDouble();

        double term = Math.sqrt(2.0 * px * py);
        double sum = px + py;

        double r1 = sum - term;
        double r2 = sum + term;

        // Outputting in sorted order
        if (r1 > r2) {
            double temp = r1;
            r1 = r2;
            r2 = temp;
        }
        
        System.out.printf("%.6f %.6f\n", r1, r2);
    }
}

import math

def solve():
    try:
        px, py = map(float, input().split())
    except (IOError, ValueError):
        return

    term = math.sqrt(2.0 * px * py)
    sum_val = px + py

    r1 = sum_val - term
    r2 = sum_val + term
    
    # Ensure sorted output
    if r1 > r2:
        r1, r2 = r2, r1

    print(f"{r1:.6f} {r2:.6f}")

solve()

算法及复杂度

  • 算法：解析几何、数学推导

  • 时间复杂度：。

    • 整个计算过程只涉及几次基本的算术运算（加法、乘法、开方），其时间与输入值的大小无关。

  • 空间复杂度：。

    • 只需要常数个变量来存储输入和计算结果。