Infinite Tree

题意

一颗无限结点的树，任意大于 $1$ 的点 $k$ 与点 $\frac{k}{mindiv\left(k\right)}$ 相连，其中 $mindiv\left(k\right)$ 为 $k$ 的最小质因子
记 $\delta\left( u, v \right)$ 为树上 $u-v$ 之间的距离，求 $\min_u \displaystyle\sum_{i = 1} ^ {m} w_i \delta\left( u, i! \right)$

题解

不考虑本题的树

我们先考虑这个题在已经知道树的结构下怎么解
显然 $\delta\left( u, v \right)=dis\left( u, v \right)$
$\min_u \displaystyle\sum_{i = 1} ^ {m} w_i \delta\left( u, i! \right) = \min_u \displaystyle\sum_{i = 1} ^ {m} w_i dis\left( u, i! \right)$
在 $root=1$ 的树中，假设现在 $u=1$ ，那么当前答案 $ans=\displaystyle\sum_{i = 1} ^ {m} w_i dis\left( 1, i! \right)$
记 $f[u]=w[u] + \displaystyle\sum_{v∈son}f[v]$ ，那么在图中，显然 $f[1]=\displaystyle\sum_{i = 1} ^ {m} w_i$
现在考虑当我们的点 $u$ 转移到 $u$ 的一个子节点 $v$ 时，答案会发生什么变化
那么就有 $f[1]-f[v]$ 多一段移动距离 $dis\left( u,v \right)$ ， $f[v]$ 少一段移动距离 $dis\left( u,v \right)$
所以当我们转移 $u$ 点能够使答案变小的时候，即 $(f[1]-f[v])-(f[v])=f[1]-2f[v]<0$ 时，我们就会移动 $u$ 点，当不能继续移动时我们就找到了最终的答案

void dfs(int u, int fa) {//第一个dfs结束后，w就是子树的w之和，就是上面讲的f
       f[u] = w[u]
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            dfs(v, u);
            f[u] += f[v];
        }
}
void dfs2(int u, int fa) {//如果rt移动之后答案变小就一直移动下去，直到答案不在变小
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            //rt从u转移到v的代价
            //+(w[1] - w[v]) - w[v]
            if (w[1] - 2 * w[v] < 0) {
                ans += 1ll * (w[1] - 2 * w[v]) * (dep[v] - dep[u]);//一步的代价*距离
                dfs2(v, u);
            }
        }
}

或者如果觉得这里路径不是单一的，可以用 $dp$ 数组来记录以每一个点为中心的答案，最后找到最小的就行

本题树的结构

接下来我们将本题构造的树画出来，下面是 $m=6$ 的时候建的树
因为任意大于 $1$ 的点 $k$ 与点 $\frac{k}{mindiv\left(k\right)}$ 相连，所以这里我更直观的将 $mindiv$ 标了出来，就是图上的边权

对于结点 $i$ 作质因数分解，记为 $i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}···p_n^{k_n}$
这棵树从根节点 $1!$ 到点 $i$ 的路径中，质因子由大变小，即经过的路径边上的质因数是形如 $5,5,5,3,3,2,2,2,2$
且有 $dis(i,1!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}k_i$
而本题最大的点 $m!, 1\leq m \leq1e5$ 是一个非常大的点，要将整棵树全部保存下来是不可能的

虚树

先来看看这个图(假设所有 $w_i=1$ ，蓝色的字为结点的 $f$ 值)

除了绿色的点之外，其他所有的点的 $f$ 值都和他们的子节点相等！
也就是说，如果我们能够移动到点 $v$ ，即有 $f[1]-2f[v]<0$ ，如果 $f[vv]=f[v]$ 那么肯定会继续移动下去
所以这些 $f$ 值不变的点都是不重要的
只有我们的目标点 $i!$ 和他们的最近公共祖先 $lca$ 是有用的，这个就是虚树的概念

这样我们保留了绿色的点，新建的树就是这样：

现在考虑怎么建虚树
目标点 $i!$ 好说，就是他们之间的 $lca$ 比较难求
之前我们说了：
这棵树从根节点 $1!$ 到点 $i$ 的路径中，质因子由大变小，即经过的路径边上的质因数是形如 $5,5,5,3,3,2,2,2,2$
所以当 $i!=p_1^{k_1}p_2^{k_2}···p_n^{k_n}$ ，当变成 $(i+1)!$ 时，这条路径最先改变的地方就是 $(i+1)$ 的最大质因子
如 $2^43^25^3$ 乘 $2^13^1$ 时
原来的路径： $5,5,5,3,3,2,2,2,2$
现在的路径： $5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,2$
可以看到前面 $5$ 个数 $5,5,5,3,3$ 都一样的，也就是说在树上他们是公用这些节点的
那么 $2^43^25^3$ 和 $2^53^35^3$ 的最近公共祖先 $lca$ 的深度就等于 $5$
可以得到 $dep[lca((i+1)!,i!)]=sum(maxdiv(i+1), n)$
其中 $sum(maxdiv(i+1), n)$ 为原来 $i!$ 中大于等于 $maxdiv(i+1)$ 的因子个数
这样我们能够顺利找到两个相邻点之间的 $lca$
为什么不用考虑所有点呢，因为构造这棵树的时候已经是按 $dfs$ 序排序了，所以考虑相邻的两个点即可

虚树的构造部分代码：

void buildVirtualTree() {
    tot = n; st[top = 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dep[i] = dep[i - 1] + 1; int j = i;
        for (; j != mindiv[j]; j /= mindiv[j]) dep[i]++;
        //一般的树都是直接找lca的，但是这里是这样找的
        //上面操作完成后，j = maxdiv(i)
        lcadep[i] = query(n) - query(j - 1);//这一步就是查找sum(maxdiv(i), n)
        //可以按照上面的图中的5!和6!两个点模拟一下
        for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j]) upd(mindiv[j], 1);
    }
    //下面和一般的虚树板子类似
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        while (top > 1 && dep[st[top - 1]] >= lcadep[i])
            add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
        if (dep[st[top]] != lcadep[i]) {
            dep[++tot] = lcadep[i];
            add_edge(tot, st[top]);
            st[top] = tot;
        }
        st[++top] = i;
    }
    while (top > 1) add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 2e5 + 10;
//建立虚树点数tot < 2n, 空间开两倍

int n, w[MAX];
ll ans;

//树状数组
int c[MAX];
void upd(int p, int k) { for (; p <= n; p += lowbit(p)) c[p] += k; }
int query(int p) { int res = 0; for (; p; p -= lowbit(p)) res += c[p]; return res; }

int mindiv[MAX];
void sieve(int siz) {//筛mindiv
    for (int i = 2; i <= siz; i++)
        if (!mindiv[i])
            for (int j = i; j <= siz; j += i)
                if (!mindiv[j])
                    mindiv[j] = i;
}

int lcadep[MAX], dep[MAX];
int st[MAX], top, tot;//stack, top, tot:虚树点数
vector<int> g[MAX];//虚树
void add_edge(int u, int v) { g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); }

void buildVirtualTree() {
    tot = n; st[top = 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dep[i] = dep[i - 1] + 1; int j = i;
        for (; j != mindiv[j]; j /= mindiv[j]) dep[i]++;
        lcadep[i] = query(n) - query(j - 1);
        for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j]) upd(mindiv[j], 1);
    }
    //建树
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        while (top > 1 && dep[st[top - 1]] >= lcadep[i])
            add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
        if (dep[st[top]] != lcadep[i]) {
            dep[++tot] = lcadep[i];
            add_edge(tot, st[top]);
            st[top] = tot;
        }
        st[++top] = i;
    }
    while (top > 1) add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
}

void dfs(int u, int fa) {
    ans += 1ll * w[u] * dep[u];//ans最开始是rt = 1时的答案
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            dfs(v, u);
            w[u] += w[v];
        }
}

void dfs2(int u, int fa) {//如果rt移动之后答案变小就一直移动下去，直到答案不在变小
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            //rt从u转移到v的代价
            //+(w[1] - w[v]) - w[v]
            if (w[1] - 2 * w[v] < 0) {
                ans += 1ll * (w[1] - 2 * w[v]) * (dep[v] - dep[u]);//一步的代价*距离
                dfs2(v, u);
            }
        }
}

void init() {
    ans = top = 0;
    for (int i = 1; i <= tot; i++) g[i].clear(), c[i] = w[i] = lcadep[i] = dep[i] = 0;
}

int main() {

    sieve(1e5);
    while (~scanf("%d", &n)) {
        init();
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
        buildVirtualTree();
        int rt = 1; dfs(rt, 0); dfs2(rt, 0);
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}

2020牛客多校第一场 B Infinite Tree 虚树

Infinite Tree

题意

题解

不考虑本题的树

本题树的结构

虚树

代码