案例一
给定一个整数 N，那么 N 的阶乘 N! 末尾有多少个 0？例如： N = 10，则 N！= 3628800，那么 N! 的末尾有两个0。
有些人心想，这还不简单，直接算出 N！的值，然后用除以 10 来判断多少个 0 就可以了。
有些人则这样想，直接算 N！的值再来除以 10 判断多少个 0 的话肯定会出现溢出问题，于是开始思索：一个数乘以 10 就一定会在末尾产生一个零，于是，我们可以从“哪些数相乘能够得到 10 ”入手。
没错，只有 2 * 5 才会产生 10。
注意，4 * 5 = 20 也能产生 0 啊，不过我们也可以把 20 进行分解啊，20 = 10 * 2。
于是，问题转化为 N! 种能够分解成多少对 2*5，再一步分析会发现，在 N！中能够被 2 整除的数一定比能够被 5 整除的数多，于是问题就转化为求 1…n 这 n 个数中能够被 5 整除的数有多少个，注意，像 25 能够被 5整除两次，所以25是能够产生 2 对 2 * 5滴。有了这个思路，代码如下：
int f(int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int j = i;
while (j % 5 == 0)
{
sum++;
j = j / 5;
}
}
return sum;
}
有些人想出了这个规律，很是得意，然而，这还不是面试官要的答案，大家想一个问题，
当 N = 20 时，1~20 可以产生几个 5 ？答是 4 个，此时有 N / 5 = 4。
当 N = 24 时，1~24 可以产生几个 5 ？答是 4 个，此时有 N / 5 = 4。
当 N = 25 时，1~25 可以产生几个 5？答是 6 个，主要是因为 25 贡献了两个 5，此时有 N / 5 + N / 5^2 = 6。
…
可以发现 产生 5 的个数为 sum = N/5 + N/5^2 + N/5^3+…
于是，最优雅的写法应该是这样：
int f(int n)
{
int sum = 0;
while(n! = 0)
{
sum += n / 5;
n = n / 5;
}
}
案例2
求 N! 的二进制表示中最低位 1 的位置。例如 3！=6，二进制为 1010，所以 最低位 1 的位置在第二位。
没有思路？请仔细想一下这道题与上道题的关系！
仔细想一下，这道题不也是求末尾有多少个 0 吗？你求出了末尾有多少个0自然知道 1 的位置（0的个数加1就是1的位置了），只不过，这道题是求二进制末尾有多少个 0。
由于是二进制，所以每次乘以 2 末尾就会产生一个 0 。
于是，模仿上面一道题，求 N！含有多少个 2 的个数。心想，幸好我做个类似了，于是一波操作猛如虎，一分钟就写出了代码：
int f(int n)
{
int sum = 0;
while(n! = 0)
{
sum += n / 2;
n = n / 2;
}
}
还能优化吗？
这道题还可以用位运算来优化，除以 n / 2 == n >> 1。不过位运算的速度快多了，于是，优化后的代码如下：
int f(int n)
{
int sum = 0;
while(n! = 0)
{
n >>= 1;
sum += n;
}
}
案例三
给你一个数 N，输出 N! 的值。
没错，就是这么简单，直接让你求阶乘的值。
这个时候，你就要小心了，千万别一波操作
long long sum = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
sum *= i；
}
一个 for 循环，马上搞定。
因为你不知道 n 的范围，有可能你用 long long 也是会溢出的，所以这个时候应该要问一下面试官有没有限定 n 的范围。
面试官：没有限定！
这下好了，这道阶乘的题，难度顿时上升了，说实话，我敢保证大部分人还真没去实现过。所以，今天我就带大家来实现一下，以防以后真的被问到。结果最熟悉的题顿时不知道怎么下手好。
这个时候，我们就必须用字符串来存放所求的值的，在相乘的时候也是用字符串来相乘，说白了，就是要会求两个大整数相乘。
下面我们先来实现一个求两个大整数相乘的函数。一种比较简单的方法就是，像我们小学那会一样，让个位数与另一个数的其他数相乘，然后让十位数与另一个的其他数相乘，最后在把他们进行相加。
实现代码如下：
public static String mul(String s1, String s2)
{
// 先把字符串转化为 字符数组。
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int len = c1.length + c2.length;
// 用来存放两个数的积,字符的初始值为 '\u0000'，也就是 0
char[] c = new char[len];
// 由于大整数的低位是在字符串的末尾，所以我们从末尾遍历来计算
for (int i = c1.length - 1; i >= 0; i--)
{
int index = len - 1;
int res = 0;//用来存放进位
for (int j = c2.length - 1; j >= 0; j--)
{
int temp = (c1[i] - '0') * (c2[j] - '0') + c[index] + res;
res = temp / 10;
c[index--] = (char)(temp % 10);
}
// 每趟乘下来的进位要进行保存。
c[index] = (char)res;
len--;
}
// 最后把c中的字符加上 '0'
for (int i = 0; i < c.length; i++)
{
c[i] += '0';
}
String s = new String(c);
// n位数乘以m位数得到积位 (m+n)位数或者(n+m-1)位数
// 我们只需要判断c[0]是否为0，为0则把它舍弃。
if (c[0] == '0')
return s.substring(1);
else
return s;
}
注意，一定要自己实现一遍，一定要自己实现一遍，因为原理简单，但手动实现就不一定那么简单了，容易出现bug。
采用这种方法的话，两个大整数相乘的时间复杂度为 O(n)，其实还有更快的方法，大概时间复杂度是 O(n^1.6)，不过代码有点小复杂，感兴趣的可以阅读这篇文章：漫画：如何实现大整数相乘？我这里就不展开说了。
知道了两个大整数相乘之后，我们再来算我们的阶乘，就好做了，我们每次相乘的时候，只需要把它当作两个大整数重复乘就可以了。代码如下：
// N 的阶乘
public static String f(int n)
{
String s = "1";
Integer t = null;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
t = i;
s = 大整数相乘.mul(s,t.toString());
}
return s;
}
// 大整数相乘
public static String mul(String s1, String s2)
{
// 先把字符串转化为 字符数组。
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int len = c1.length + c2.length;
// 用来存放两个数的积,字符的初始值为 '\u0000'，也就是 0
char[] c = new char[len];
// 由于大整数的低位是在字符串的末尾，所以我们从末尾遍历来计算
for (int i = c1.length - 1; i >= 0; i--)
{
int index = len - 1;
int res = 0;//用来存放进位
for (int j = c2.length - 1; j >= 0; j--)
{
int temp = (c1[i]-'0') * (c2[j]-'0') + c[index] + res;
res = temp / 10;
c[index--] = (char)(temp % 10);
}
// 每趟乘下来的进位要进行保存。
c[index] = (char)res;
len--;
}
// 最后把c中的字符加上 '0'
for (int i = 0; i < c.length; i++)
{
c[i] += '0';
}
String s = new String(c);
// n位数乘以m位数得到积位 (m+n)位数或者(n+m-1)位数
// 我们只需要判断c[0]是否为0，为0则把它舍弃。
if(c[0] == '0')
return s.substring(1);
else
return s;
}
时间复杂度是 O(n^3)。如果要优化的话，主要是在大整数相乘这里进行优化。
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