在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数讲解
题目：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
穷举：
①先假设使用一个1g的砝码，在此基础上使用2g的砝码，同上再假设使用一个3g的，再假设使用一个4g的，这种方案称出的重量为10g。
②在1基础上假设没有使用4g的，这种方案称出的是6g。
以此类推……
每个砝码都有两种情况——用还是不用，以此类推总共就有222*2=16种方案（包含一种都没取的0g方案）
我们可以用一个类似离散数学的逻辑式表示砝码组合出来的情况：
||表示析取，也就是编程时的“逻辑或”；
&&表示合取，也就是编程时的“逻辑与”，
析取与合取都是离散数学中的概念，其实就等于编程语言中的逻辑与和逻辑或。
（使用1g || 不使用1g）&&（使用2g || 不使用2g）
=使用1g&&使用2g || 不使用1g&&使用2g || 使用1g&&不使用2g || 不使用1g&&不使用2g
每个用 “||”分开的一项都是一种方案。“&&”表示选择第一项的情况下有选择了第二项。
如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，上述表达式和多项式的乘法一模一样。在这里使用幂运算。Xm 乘上Xn结果是Xm+n，那么以次数表示砝码的质量， 就可以以多项式的形式表示砝码组合的所有方案。
表示1g砝码的两种状态的多项式就是（x^ 0+x^ 1），表示2g的就是（x^ 0 + x^2），x0表示没有使用砝码(重量为0)，所以x0 =1（x ^ 0 = 1）。
注意，砝码的质量是以指数形式表示的。
用这种表达式表示4个砝码的组合情况
（x0+x1）* （x0+x2） * （x0+x3）* （x0+x4）
=x0 + x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 + x8+ x9 + x10
每项前系数代表方案指数情况下的方案数（例如，2x^4表示4g的情况有两个方案）
将系数相加为16，结果与上面穷举的结果是相同的。
接下来我们把开始的题目稍稍变化一下：
求用1g、2g、3g的砝码称出不同重量的方案数 。
和第一种比较的区别是这里每种是无限的。
以2g砝码为例，可以把2个2g砝码看成是4g砝码，3个2g砝码看成是6g砝码，依次类推，把m个n g砝码看成是一个n*m g砝码，以前两个砝码为例，那么多项式相应的就变成
（x0 +x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + …… ）*（x0 + x2 + x4 + x6 + x8+ x10 + ……）
在实际问题中，会给出一个确定的值，比如说求组成10g的方案有几种。
那么我们就只要在合并后的结果求到最高次的项是x^10即可，后面的项可以忽略不计。
那么要结果中最高为10次方，开始每一种砝码的无限项的表达式也是10次,因为表达式中最低的项有x0 ，所以想在结果中不漏掉出现x10 的项，必须乘之前的项最高的项不能小于x10，而表达式中不可能出现x-1,，所以x11 和任何一项相乘都会大于x10，所以x11 是不需要的，但写上也无妨，不影响结果，但是如果可以有x10（比如3g的砝码组合不出10g的，但是2g的就可以），那就必须写，不然就会漏掉一些方案。
题目是求用1g、2g、3g的砝码称出10g的方案数 。
表达式就是：
（x0 +x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + ……x10 ）（x0 + x2 + x4 + x6 + x8+ x10 ）
*结果就是合并同类项后x10的系数。**
无限砝码的问题需要的运算时间规模就是n3级别。
模板及例题
1028.Ignatius and the Princess IIl
Problem Description
“好吧，似乎第一个问题太容易了。我会让你知道你以后有多愚蠢。” feng5166说。
“第二个问题是，给定正整数N，我们定义这样的方程：
N = a [1] + a [2] + a [3] + ... + a [m];
a [i]> 0,1 <= m <= N;
我的问题是你能为给定的N找到多少个不同的方程式。
例如，假设N是4，我们可以找到：
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
因此当N为4时结果为5.注意“4 = 3 + 1”和“4 = 1 + 3”是同样的。
现在，你做到了！“
Input
输入包含几个测试用例。每个测试用例包含一个正整数N（1 <= N <= 120），如上所述。输入由文件末尾终止。
Output
对于每个测试用例，您必须输出一个包含整数P的行，表示您找到的不同方程式。
Sample Input
4 10 20
Sample Output
5 42 627
（母函数无限砝码模板）
#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn = 125;
int sup[maxn], temp[maxn];
int main() {
fio
int target;
while (cin >> target) {
memset(sup, 0, sizeof(sup));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
/*首先对sup初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^target)开始，
把质量从0(x^0)到target的所有项系数初始化为1.*/
for (int i = 0; i <= target; i++) {
sup[i] = 1;
temp[i] = 0;
}
//外层循环指第i个表达式
for (int i = 2; i <= target; i++) {
//中层循环表示前面i個表达式累乘的表达式里第j个变量
for (int j = 0; j <= target; j++) {
//后面被乘多项式中的每一项，k+=i：第i个表达式的增量是i
for (int k = 0; k+j <= target; k += i) {
temp[j+k] += sup[j];
}
}
//更新。
for (int j = 1; j <= target; j++) {
sup[j] = temp[j];
}
memset(temp, 0, sizeof(temp));
}
//target项数前系数则为方案数
cout << sup[target] << endl;
}
} 2082.找单词
Problem Description
假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，
同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。
那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？
单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，
单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。
(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。
Input
输入首先是一个整数N，代表测试实例的个数。
然后包括N行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26.
Output
对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。
Sample Input
2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9
Sample Output
7 379297
TIP：用数组存储每个字母的个数，判断个数为空的字母表达式不进行相乘。
#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn = 55;
int sup[maxn], temp[maxn];
int a[maxn];
/*2082:
样例
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
母函数表达式为：
x0 = 1
(x0+1*x^1)(x0+1*x^2)(x0+1*x^3)
= (1+x)(1+x^2)(1+x^3)
= (1+x+x^2+x^3)(1+x^3)
= 1 + x + x^2 + 2*x^3 + x^4 + x^5 + x^6
>=1 && <=50的指数前系数相加为7
*/
int main() {
fio
int n;
cin >> n;
while (n--) {
//存放每个字母有多少个(项)
for (int i = 1; i <= 26; i++)
cin >> a[i];
//如果a存在<=>a≠0，a个数的指数项前系数赋1(a价值1)
for (int i = 0; i <= a[1]; i++) {
sup[i] = 1;
temp[i] = 0;
}
//最外层表示正与第i个表达式相乘
for (int i = 2; i <= 26; i++) {
if (a[i] != 0) {
//中层循环表示sup[]里的每一项
for (int j = 0; j <= 50; j++) {
//外层循环表示后面被乘多项式中的每一项
//k+=i：例如b有2(a[i] = 2)个，表达式为1+x^2+x^4;
//i*a[i]，i为价值，a[i]为个数，相乘为每个字母的最大价值
for (int k = 0; k <= i*a[i] && j+k <= 50; k += i) {
temp[j+k] += sup[j];//j+k为相乘后的指数和
}
}
for (int j = 0; j <= 50; j++)
sup[j] = temp[j];//更新
memset(temp, 0, sizeof(temp));
}
}
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= 50; i++) {
sum += sup[i];
}
cout << sum << endl;
}
}
二维母函数模板
hd2069题目大意：
1,5,10,25,50五种硬币,和一个价值n,问由硬币总数不超过100的方案有多少种
#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int value[6] = {0, 1, 5, 10, 25, 50};
int c1[300][110], c2[300][110];
int n;
int main() {
fio
while(cin >> n) {
memset(c1, 0, sizeof(c1));
memset(c2, 0, sizeof(c2));
for (int i = 0; i <= min(n, 100); i++) c1[i][i] = 1;
for (int i = 2; i <= 5; i++) {
for (int j = 0; j <= n; j++) {
for (int k = 0; k+j <= n; k += value[i]) {
for (int l = 0; l <= 100 && l+k/value[i] <= 100; l++) {
c2[j+k][l+k/value[i]] += c1[j][l];
}
}
}
for (int j = 0; j <= n; j++) {
for (int k = 0; k <= 100; k++) {
c1[j][k] = c2[j][k];
c2[j][k] = 0;
}
}
}
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= 100; j++) {
ans += c1[n][j];
}
cout << ans << endl;
}
} 
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