【学习笔记】二刷动态规划（三）

343. 整数拆分
     给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。
     返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

联想到了“剪绳子”。讲真，看到剪绳子那道题，以为是动态规划，结果我想多了

思路：
最优子结构：通过求子问题的最优解，可以求原问题的最优解。

动态规划中的递归，要满足具有重叠子问题和最优子结构

方法一：递归+记忆化搜索，自顶向下

class Solution {
private:
    vector<int> memo; //记忆数组
    int breakInteger(int n){
        if(n == 1) return 1;
        if(memo[n] != -1){
            return memo[n];
        }
        int res = -1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            res = max3(res, i * (n - i), i * breakInteger(n - i)); //递归
        }
        memo[n] = res;
        return res;
    }
    int max3(int a, int b, int c){
        return max(a,max(b,c));
    }
public:
    int integerBreak(int n) {
        memo = vector<int>(n+1, -1);
        return breakInteger(n);
    }
};

方法二：动态规划，自底向上
内层循环就是为了找到memo[i]的最大值
i是总和，把i分割成j和(i - j)，
循环比较j * (i - j)、j * memo[i - j]和memo[i]三者的大小关系
其中memo[i - j]是将i-j继续分割的最大值，而memo[i]是之前一次内层循环求出的memo[i]
由于i- j < i, memo[i- j]一定已经计算过

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> memo(n+1, -1);
        memo[1] = 1;

        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i - 1; j++){ 
                memo[i] = max(memo[i], max( j*(i - j), j * memo[i - j]) );
            }
        }
        return memo[n];
    }
};