基本概率问题求解

基于马尔科夫链解决游戏中强化数值问题

1.一把武器，每次强化的成功率都是50%，前7级强化不会回退，从8级以后失败后会回退1级。每次强化花费3元，请问强化到10级一共需要花费多少钱？（需要写出计算过程）

解法一：

前七次强化不会回退，那么对应一次升级需要的花费是,等差与等比数列的乘积
可以求得对应的数是3*2 = 6元，平均需要2次。从而有对应的7次强化的费用是42元。

从八级后会失败，对应的是稳定进行一次需要的多少钱？

1次成功 3*0.5 
1次失败，0.5*9,失败一次后需要花费两次才能回复原来状态
1次成功，0.5*0.5*3
2次失败，0.5*0.5*9,失败一次后需要花费两次才能回复原来状态

对应的公式是

所以从8到10需要12*3 = 36元，所以总共78元。

解法2：

前七次的强化次数期望为1/50%=2次（几何分布），需要花费2*3*7=42元 

从七级开始，设a为第九级到第十级的强化次数期望，b为第八级到第十级的强化次数期望，
c为第七级到第10级的强化次数期望，设强化成功率为p。
a=p*1+（1-p）*（1+b），强化次数期望=成功强化次数期望+失败强化次数期望，
成功时只需强化一次，所以期望为p*1，失败时期望为失败的这一次加上从掉到第八级，
从第八级到第10级的期望。依次类推可得：b=p*（1+a）+（1-p）*（1+c），c=p*（1+b）+（1-p）*（1+c），三个方程联立解得c=12，所以话费12*3=36元。所以一共需要花费36+42=78元。

解法3：

假设f(n,n+1)为从n到n+1的期望次数，那么对应的有

f(7,8) = 0.5*1+0.5(f(7,8)+1)，从而有 f(7,8) = 2
f(8,9) = 0.5*1+0.5(f(8,9)+f(7,8)+1),从而有f(8,9) = 4次
f(9,10) = 0.5*1+0.5(f(9,10)+f(8,9)+1),从而有f(9,10) = 6次
从而需要12次强化。

2.一装备可从1级升到4级，升级有概率成功或失败，成功升1级，失败降1级（1级时失败不降级）。已知1升2级成功率60%，2升3级成功率40%，3升4级成功率20%，则该装备从1级升到4级的期望次数为（ 32）

第一种解法：
设g(i)代表从i到i+1的期望次数
则 g(1)=0.3*1+0.7*(1+g(1))   解得g(1)=5/3
g(2)=0.4*1+0.6(1+g(1)+g(2))    解得 g(2)=5
g(3) = 0.2*1+0.8(1+g(2)+g(3))  解得 g(3)=25
则 总的期望次数为 g(1)+g(2)+g(3)=5/3+5+25 = 31.6

第二种解法：
f(1,4)代表 从1到4的期望次数
f(2,4)代表从2到4的期望次数
f(3,4)代表从3到4的期望次数
则： f(1,4)=0.6*(1+f(2.4))+0.4*(1+f(1,4))
f(2,4)=0.4*(1+f(3,4))+0.6*(1+f(1,4))
f(3,4)=0.2*(1+f(4,4))+0.8*(1+f(2,4))
其中  f(4,4) = 0  ,三个方程联立：解得 f(1,4)=31.6  f(2,4)=30  f(3,4)=25

基础概率题2

1.一个卡牌游戏，抽中紫卡的概率是5%，同时若连续19次未抽中，则第20次必中紫卡，那么这游戏抽中紫卡的期望次数是？

（1-（1-0.05）^19）*19+1≈12.83 式中，（1-0.05）^19为前19次一次都没抽中的概率，用1减去该式子则为前19次抽中的概率，×19则为前19次抽中的期望，加上20次必中的期望值1，则为12.83。

假设抽一次中的概率是5%,抽i次中的概率是5%*95%^(i-1),而且有20次必中，所以实际上

基础概率题3-贝叶斯公式

1.核酸检测是判断一个人是否感染新冠病毒的一种有效手段，但事实上核酸检测也存在一定的假阳性率和假阴性率。假设每次核酸检测的假阳性率为2%（即未感染者仍有2%的概率被检测为阳性），假阴性率为10%（即感染者存在10%的概率被检测为阴性）。已知一个地区有5%的人口感染了新冠病毒，如果该地区的小明被检测为阳性，那么他实际上被感染的概率为多少？

假设检测事件为事件A,感染事件为事件B,那么初始的条件是

P(A=1|B=0) = 2%,P(A=0|B=1)=10%,P(B=1)=5%,求P(B=1|A=1)?
P(A=0|B=0) = 98%,P(A=1|B=1)=90%,P(B=0)=95%

考察点：条件概率、贝叶斯公式
P(A)：小明阳性
P(B)：小明被感染的概率
P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(A|B)P(B)/(P(A|B)P(B)+P(A|~B)P(~B)) 
=5% * 90%/(5% * 90% + 95% * 2%)
=70%

假设有下面的图形,注意先后顺序。

小明检测为阳性(A=1) 小明检测为阴性(A=0) 先验信息1
小明被感染(B=1) P(A=1|B=1) = 90% P(A=0|B=1) = 10% P(B=1)=5%
小明未感染(B=0) P(A=1|B=0) = 2% P(A=0|B=0) = 98% P(B=0)=95%
先验信息2

2.某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

解：设次品事件是A,选中的产品为,那么对应的结果如下

基本公式

根据贝叶斯公式有
其中互斥，且构成一个完成事件。

条件概率公式
全概率公式


所以可以知道下面的推导公式